Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Ma trận (toán học)”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Dòng 364:
</math>
|-
| Ma trận [[tam giác]] dưới || style="text-align:center;" | <math>
\begin{bmatrix}
a_{11} & 0 & 0 \\
Dòng 372:
</math>
|-
| Ma trận [[tam giác]] trên || style="text-align:center;" | <math>
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
Dòng 481:
Định thức của tích hai ma trận vuông bằng tích các định thức ma trận:
:{{nowrap begin}}det('''AB''') = det('''A''') • det('''B''').<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem III.2.12 }}</ref>{{nowrap end}}
Khi cộng bội một số lần của một hàng bất kỳ vào một hàng khác, hoặc cộng bội một số lần của một cột bất kỳ vào một cột khác, sẽ không làm thay đổi định thức. Hoán vị hai hàng hoặc hai cột làm ảnh hưởng tới định thức bằng cách nhân nó với −1.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Corollary III.2.16 }}</ref> Sử dụng những quy tắc này, ma trận vuông bất kỳ có thể chuyển thành một ma trận [[tam giác]] dưới (hoặc trên), mà đối với các ma trận [[tam giác]], định thức của nó bằng tích của các phần tử trên đường chéo chính; phương pháp này mang lại một cách tính định thức của ma trận vuông bất kỳ.
Cuối cùng, [[khai triển Laplace]] biểu diễn định thức trong số hạng của các [[phần phụ đại số]], nghĩa là định thức của các ma trận nhỏ hơn.<ref>{{Harvard citations |last1=Mirsky |year=1990 |nb=yes |loc=Theorem 1.4.1 }}</ref> Khai triển này có thể dùng để đưa ra định nghĩa theo phương pháp đệ quy đối với định thức (mà bắt đầu bằng định thức của ma trận 1 x 1, mà nó có một phần tử duy nhất, hay thậm chí định thức của ma trận 0 x 0, định nghĩa bằng 1), mà có thể coi như tương đương với công thức Leibniz. Ứng dụng của định thức bao gồm việc giải hệ phương trình tuyến tính sử dụng [[quy tắc Cramer]], với thương của hai định thức của hai ma trận liên quan bằng giá trị của biến cần tìm trong hệ phương trình.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem III.3.18 }}</ref> Khai triển Laplace cho ma trận bất kỳ như sau:
Dòng 535:
Có một số phương pháp để đưa ma trận về những dạng dễ nghiên cứu hơn. Các nhà toán học thường coi chúng là kỹ thuật ''phân tích ma trận'' hoặc ''nhân tử hóa ma trận''. Họ quan tâm tới những kỹ thuật này vì chúng bảo tồn một số tính chất nhất định của ma trận trong quá trình biến đổi, như định thức, hạng hay nghịch đảo, do đó những đại lượng này có thể dễ dàng tính toán sau khi áp dụng phép biến đổi, hoặc những tính toán ma trận sẽ dễ dàng hơn về mặt thuật toán thực thi đối với một số ma trận đặc biệt.
Phương pháp [[phân tích LU]] ma trận chính là kỹ thuật phân tích ma trận thành tích của một ma trận [[tam giác]] dưới ('''L''') với một ma trận [[tam giác]] trên ('''U''').<ref>{{Harvard citations |last1=Press |last2=Flannery |last3=Teukolsky |year=1992 |nb=yes }}</ref> Khi phương pháp phân tích này được thực hiện, những hệ phương trình tuyến tính có thể giải một cách hữu hiệu hơn bằng những kỹ thuật đơn giản như thay thế tiến và lùi (forward and back substitution). Tương tự, tính nghịch đảo của ma trận [[tam giác]] sẽ dễ dàng hơn nhiều so với ma trận tổng quát. ''Phép khử Gauss'' tương tự như một thuật toán; nó biến đổi ma trận bất kỳ thành dạng hàng bậc thang (row echelon form).<ref>{{Harvard citations |last1=Stoer |last2=Bulirsch |year=2002 |nb=yes |loc=Section 4.1 }}</ref> Cả hai phương pháp được tiến hành bằng cách nhân ma trận với những ma trận cơ sở phù hợp, hay những ma trận thu được từ việc hoán vị các cột hoặc hàng cho nhau và cộng thêm một số bội lần một hầng vào hàng khác. Kỹ thuật phần tích giá trị kỳ dị (singular value decomposition) biểu diễn ma trận bất kỳ '''A''' thành tích của '''UDV'''<sup>∗</sup>, với '''U''' và '''V''' là các ma trận unita và '''D''' là ma trận chéo hóa.
[[Tập tin:Jordan blocks.svg|phải|nhỏ|250px|Ví dụng về ma trận trong dạng chuẩn tắc Jordan. Những khối xám mà được gọi là những khối Jordan.]]
| |||