Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Số vô tỉ”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Dòng 15:
=== Hy Lạp cổ đại ===
Bằng chứng đầu tiên về sự tồn tại của các số vô tỷ thường được quy cho một người theo trường phái Pythagore (có thể là Hippasus của Metapontum),<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Kurt Von Fritz|year=1945|title=The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum|journal=The Annals of Mathematics|ref=harv}}</ref> người có thể đã phát hiện ra chúng trong khi xác định các cạnh của [[ngôi sao năm cánh]].<ref>{{Chú thích tạp chí|last=James R. Choike|year=1980|title=The Pentagram and the Discovery of an Irrational Number|journal=The Two-Year College Mathematics Journal|ref=harv}}.</ref> Phương pháp Pythagore hiện tại đã tuyên bố rằng phải có một số đơn vị đủ nhỏ, không thể phân chia, có thể vừa khít với một trong những độ dài này cũng như các [[chiều dài]] khác. Tuy nhiên, Hippasus, vào thế kỷ thứ 5 TCN, đã có thể suy luận rằng trên thực tế không có đơn vị đo lường chung nào, và việc khẳng định sự tồn tại như vậy trên thực tế là một mâu thuẫn. Ông đã làm điều này bằng cách chứng minh rằng nếu cạnh huyền của [[tam giác]] vuông cân thực sự có tỷ lệ đo được khi so với cạnh góc vuông, thì một trong những độ dài được đo theo đơn vị đo đó phải là số lẻ và số chẵn, điều này là không thể. Lý luận của ông là như sau:
* Giả sử chúng ta có một [[tam giác]] vuông cân với các số nguyên cạnh ''a'', ''b'' và ''c''. Tỷ lệ của cạnh huyền với một chân được biểu thị bằng ''c'':''b''.
* Giả sử ''a'', ''b'' và ''c'' là các số hạng nhỏ nhất có thể (''nghĩa là'' chúng không có ước số chung).
* Theo [[Định lý Pythagoras|định lý Pythagore]]: ''c''<sup>2</sup> = ''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> = ''b''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> = 2''b''<sup>2</sup>. (Vì [[tam giác]] là cân, nên ''a'' = ''b'').
* Vì ''c''<sup>2</sup> = 2''b''<sup>2</sup>, ''c''<sup>2</sup> chia hết cho 2 và do đó chẵn.
* Vì ''c''<sup>2</sup> là chẵn nên ''c'' phải chẵn.
Dòng 75:
Từ (4) suy ra, <math>\frac{m}{n}</math> không thể là phân số tối giản hay <math>\sqrt{2}</math> không thể là [[số hữu tỉ]] - mâu thuẫn với giả thiết <math>\sqrt{2}</math> là một [[số hữu tỉ]]. Vậy <math>\sqrt{2}</math> phải là số vô tỉ.
Cách chứng minh trên tương tự với cách dùng phép dựng hình để chứng minh giả thuyết về số <math>\sqrt{2}</math> - một loại [[phương pháp chứng minh]] được sử dụng bởi các nhà hình học Hy lạp cổ đại. Xét một [[tam giác#tam giác vuông cân|tam giác vuông cân]] mà độ dài tương ứng của các [[cạnh góc vuông]] và [[tam giác#Phân loại tam giác|cạnh huyền]] là hai [[số tự nhiên|số nguyên dương]] ''n'' và ''m''. Áp dụng [[Định lý Pytago]], ta suy ra [[tỉ số]] <math>\frac{m}{n}</math> bằng <math>\sqrt{2}</math>. Mặt khác, bằng phương pháp dựng hình cổ điển com-pa và thước thẳng ta dựng được một [[tam giác#tam giác vuông cân|tam giác vuông cân]] '''nhỏ hơn''' với độ dài của các cạnh góc vuông và cạnh huyền tương ứng bằng <math>m - n</math> và <math>2n - m</math>. Áp dụng [[Định lý Pytago]] cho [[tam giác]] thứ hai, ta suy ra [[tỉ số]] <math>\frac{2n - m}{m - n}</math> cũng bằng <math>\sqrt{2}</math>. Như vậy, <math>\frac{m}{n} = \frac{2n - m}{m - n}</math>, điều này chứng tỏ phân số <math>\frac{m}{n}</math> không thể là [[phân số tối giản]] hay <math>\sqrt{2}</math> không phải là [[số hữu tỉ]] mà phải là số vô tỉ.
=== Căn bậc hai của 10 ===
| |||