[[Tập tin:QHarmonicOscillator.png|phải|nhỏ|Xác suất mật độ <nowiki>|</nowiki>''ψ<sub>n</sub>''(''x'')<nowiki>|</nowiki><sup>2</sup> cho những trạng thái riêng ràng buộc eigenstates, bắt đầu với đấttrạng nướcthái (''n'' = 0) xuống phía dưới và tăng năng lượng tới mức đỉnh. Trục ngang cho thấy các vị trí {{Mvar|x,}} và sáng, màu sắc đại diện cho xác suất cao hơn mật độ.]]
Các "thangtoán điềutử hành"bậc phương phápthang, được phát triển bởi [[Paul Dirac]], cho phép tìm lời giải cho vấn đề năng lượng với giá trị riêng mà trực tiếp giải quyết các phương trình vi phân. Đó là khái quát cho một công thức phức tạp, đặc biệt là trong [[Lý thuyết trường lượng tử|lĩnh vực lượng tử lý thuyết]]. Sau này, chúng tôi xác định khai thác {{Mvar|a}} và nó liên hợp {{Math|''a''<sup>†</sup>}},
