Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Phân thớ véctơ”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Tuanminh01 đã đổi Phân thớ véctơ thành Phân thớ véc tơ Thẻ: Trang đổi hướng mới |
n Tuanminh01 đã đổi Phân thớ véc tơ thành Phân thớ véctơ qua đổi hướng |
||
Dòng 1:
[[Tập tin:Mobius_strip_illus.svg|phải|nhỏ|250x250px| [[Mặt Mobius|Dải Mobius]] (mở rộng vô hạn) là một phân thớ đường trên đường tròn '''S'''<sup>1</sup>. Trong một lân cận địa phương tại mọi điểm của '''S'''<sup>1</sup>, nó [[Phép đồng phôi|đồng phôi]] với ''U''×'''R''' (trong đó ''U'' là một cung mở chứa điểm đó), nhưng toàn thể phân thớ khác với '''S'''<sup>1</sup>×'''R''' (i.e. [[Tích Descartes|hình trụ]]). ]]
Trong [[toán học]], một '''phân thớ véctơ''' là một [[Tô pô|cấu trúc tôpô]] chính xác hóa ý tưởng về một họ các [[không gian vectơ]] được tham số hóa bởi một không gian ''X'' (''X'' có thể là một [[Không gian tô pô|không gian tôpô]], một [[Đa tạp|đa tạp (vi phân)]] hoặc một [[đa tạp đại số]]). Với mỗi điểm ''x'' trên không gian ''X'' ta gán một không gian vectơ ''V''(''x'') sao cho các không gian vectơ này xếp cạnh nhau để tạo thành một không gian cùng loại với ''X'' (e.g. một không gian tôpô, một đa tạp hoặc một đại số). Không gian này được gọi là '''một phân thớ véctơ nằm trên ''X.'''''
Ví dụ đơn giản nhất là trường hợp họ không gian véctơ không đổi, nghĩa là có một không gian vectơ cố định ''V'' sao cho ''V''(''x'') = ''V'' với tất cả ''x'' thuộc ''X,'' và các bản sao này khớp với nhau một cách đơn giản để tạo thành phân thớ véctơ ''X''×''V'' trên ''X.'' Các phân thớ vectơ như vậy được gọi là tầm thường. Một ví dụ phức tạp hơn (và điển hình hơn) là các phân thớ tiếp tuyến của [[Đa tạp|đa tạp trơn (hoặc khả vi)]]: với mỗi điểm của một đa tạp như vậy, chúng ta gắn không gian tiếp tuyến với đa tạp tại điểm đó. Các phân thớ tiếp tuyến nói chung là không tầm thường. Ví dụ, phân thớ tiếp tuyến của hình cầu là không tầm thường bởi định lý quả bóng nhiều lông. Nếu phân thớ của một đa tạp là tầm thường, nó được gọi là một đa tạp song song.
Các phân thớ véctơ hầu như được yêu cầu là ''tầm thường địa phương''. Ngoài ra, các không gian vectơ thường được yêu cầu là nằm trên trường số thực hoặc số phức, trong trường hợp đó, phân thớ vectơ được gọi là phân thớ vectơ thực hoặc phức (tương ứng). Một phấn thớ véctơ phức có thể được xem như là một phân thớ véctơ thực với một cấu trúc bổ sung.
== Định nghĩa và tính chất ==
Một '''phân thớ véc tơ thực''' bao gồm:
# các không gian tôpô ''X'' (''không gian cơ sở'') và ''E'' (''không gian'' toàn thể)
# một [[toàn ánh]] [[Hàm liên tục|liên tục]]: ''E'' → ''X'' (''phép chiếu phân thớ'')
# với mỗi ''x'' trong ''X'', cấu trúc của [[không gian vectơ]] [[Số thực|thực]] có chiều hữu hạn cho sợi π <sup>1</sup> ({ ''x'' })
sao cho điều kiện tương thích sau đây được thỏa mãn: với mọi điểm ''p'' trong ''X'', tồn tại một lân cận mở ''U'' ⊆ ''X'' của ''p'', một [[số tự nhiên]] ''k'' và một phép [[Phép đồng phôi|đồng phôi]]
: <math>\varphi\colon U \times \mathbf{R}^{k} \to \pi^{-1}(U) </math>
sao cho với mọi ''x'' ∈ ''U'',
* <math> (\pi \circ \varphi)(x,v) = x </math> cho tất cả các vectơ ''v'' trong '''R''' <sup>''k''</sup>
* ánh xạ <math> v \mapsto \varphi (x, v)</math> là một đẳng cấu tuyến tính giữa các không gian vectơ '''R''' <sup>''k''</sup> và π <sup>1</sup> ({ ''x'' }).
Lân cận mở ''U'' cùng với sự đồng phôi <math>\varphi</math> được gọi là '''tầm thường hóa địa phương''' của phân thớ vector. Trên các lân cận mở tầm thường hóa, ánh xạ π là phép chiếu từ ''U'' × '''R''' <sup>''k''</sup> xuống ''U.''
| |||