Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Danh sách tích phân với hàm lượng giác”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Không có tóm lược sửa đổi |
Không có tóm lược sửa đổi |
||
Dòng 1:
{{Lượng giác}}
Đây là danh sách
: <math>\int a\cos nx\
Trong mọi công thức dưới đây, {{mvar|a}} là một hằng số khác không
== Tích phân chỉ chứa hàm [[sin]] ==
: <math>\int\sin ax\
: <math>\int
: <math>\int\sin^3
: <math>\int
: <math>\int x^2\sin^2 {ax}\
: <math>\
: <math>\int(\
: <math>\int\sin^n {ax}\,dx = -\frac{\sin^{n-1} ax\cos ax}{na} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(}n>0\mbox{)}</math>
: <math>\int\frac{dx}{\sin ax} = -\frac{1}{a}\ln{\left| \csc{ax}+\cot{ax}\right|}+C</math>
: <math>\int\frac{dx}{\sin^n ax} = \frac{\cos ax}{a(1-n) \sin^{n-1} ax}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\sin^{n-2}ax} \qquad\mbox{(}n>1\mbox{)}</math>
: <math>\begin{align}
\int x^n\sin ax\,dx &= -\frac{x^n}{a}\cos ax+\frac{n}{a}\int x^{n-1}\cos ax\,dx \\
&= \sum_{k=0}^{2k\leq n} (-1)^{k+1} \frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!} \cos ax +\sum_{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^k \frac{x^{n-1-2k}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!} \sin ax \\
&= - \sum_{k=0}^n \frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\cos\left(ax+k\frac{\pi}{2}\right) \qquad\mbox{(}n>0\mbox{)}
\end{align}</math>
: <math>\int\frac{\sin ax}{x}\,dx = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(ax)^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!} +C</math>
: <math>\int\frac{\sin ax}{x^n}\,dx = -\frac{\sin ax}{(n-1)x^{n-1}} + \frac{a}{n-1}\int\frac{\cos ax}{x^{n-1}}\,dx</math>
: <math>\int\frac{dx}{1\pm\sin ax} = \frac{1}{a}\tan\left(\frac{ax}{2}\mp\frac{\pi}{4}\right)+C</math>
: <math>\int\frac{x\
: <math>\int\frac{x\,dx}{1-\sin ax} = \frac{x}{a}\cot\left(\frac{\pi}{4} - \frac{ax}{2}\right)+\frac{2}{a^2}\ln\left|\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{ax}{2}\right)\right|+C</math>
: <math>\int\frac{\sin ax\,dx}{1\pm\sin ax} = \pm x+\frac{1}{a}\tan\left(\frac{\pi}{4}\mp\frac{ax}{2}\right)+C</math>
== Tích phân chỉ chứa hàm [[Hàm lượng giác|cos]] ==
: <math>\int\cos ax\
: <math>\int\cos^2 {ax}\
: <math>\int\cos^n ax\
: <math>\int x\cos ax\
: <math>\int x^2\cos^2 {ax}\
: <math>\begin{align}
\int x^n\cos ax\,dx &= \frac{x^n\sin ax}{a} - \frac{n}{a}\int x^{n-1}\sin ax\,dx \\
&= \sum_{k=0}^{2k+1\leq n} (-1)^{k} \frac{x^{n-2k-1}}{a^{2+2k}}\frac{n!}{(n-2k-1)!} \cos ax +\sum_{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k} \frac{x^{n-2k}}{a^{1+2k}}\frac{n!}{(n-2k)!} \sin ax \\
&=\sum_{k=0}^n (-1)^{\lfloor k/2 \rfloor} \frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\cos\left(ax -\frac{(-1)^k+1}{2}\frac{\pi}{2}\right) \\
&=\sum_{k=0}^n \frac{x^{n-k}}{a^{1+k}}\frac{n!}{(n-k)!}\sin\left(ax+k\frac{\pi}{2}\right) \qquad\mbox{(}n>0\mbox{)}
\end{align}</math>
: <math>\int\frac{\cos ax}{x}
: <math>\int\frac{\cos ax}{x^n}
: <math>\int\frac{dx}{\cos ax} = \frac{1}{a}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C</math>
: <math>\int\frac{dx}{\cos^n ax} = \frac{\sin ax}{a(n-1) \cos^{n-1} ax} + \frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\cos^{n-2} ax} \qquad\mbox{(}n>1
: <math>\int\frac{dx}{1+\cos ax} = \frac{1}{a}\tan\frac{ax}{2}+C
: <math>\int\frac{dx}{1-\cos ax} = -\frac{1}{a}\cot\frac{ax}{2}+C
: <math>\int\frac{x\
: <math>\int\frac{x\
: <math>\int\frac{\cos ax\
: <math>\int\frac{\cos ax\
: <math>\int(\cos a_1x)(\cos a_2x)\
== Tích phân chỉ chứa hàm [[hàm lượng giác|tan]] ==
: <math>\int\tan ax\
: <math>\int \tan^2{x} \, dx = \tan{x} - x +C</math>
: <math>\int\tan^n ax\ : <math>\int\frac{dx}{q \tan ax + p} = \frac{1}{p^2 + q^2}(px + \frac{q}{a}\ln|q\sin ax + p\cos ax|)+C \qquad(p^2 + q^2\neq 0)\,\!</math>
Hàng 78 ⟶ 101:
: <math>\int\frac{dx}{\tan ax - 1} = -\frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln|\sin ax - \cos ax|+C\,\!</math>
: <math>\int\frac{\tan ax\
: <math>\int\frac{\tan ax\
== Tích phân chỉ chứa hàm [[hàm lượng giác|secant]] ==
:<math>\int \sec{ax} \, dx = \frac{1}{a}\ln{\left| \sec{ax} + \tan{ax}\right|}+C</math>
Hàng 89 ⟶ 112:
:<math>\int \sec^2{x} \, dx = \tan{x}+C</math>
:<math>\int \sec^n{ax} \, dx = \frac{\sec^{n-2}{ax} \tan {ax}}{a(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{ax} \, dx \qquad \mbox{(}n\ne 1\mbox{)}\,\!</math>
:<math>\int \sec^n{x} \, dx = \frac{\sec^{n-2}{x}\tan{x}}{n-1} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{x}\,dx</math><ref>Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6th Edition. Thomson: 2008</ref>
Hàng 96 ⟶ 119:
:<math>\int \frac{dx}{\sec{x} - 1} = - x - \cot{\frac{x}{2}}+C</math>
== Tích phân chỉ chứa hàm [[hàm lượng giác|cosecant]] ==
:<math>\begin{align}
\int \csc{ax} \, dx &= -\frac{1}{a}\ln{\left| \csc{ax}+\cot{ax}\right|}+C &= \frac{1}{a}\ln{\left| \csc{ax}-\cot{ax}\right|}+C\\
&= \frac{1}{a}\ln{\left| \tan{\left( \frac{ax}{2} \right)}\right|}+C
\end{align}</math>
:<math>\int \csc^2{x} \, dx = -\cot{x}+C</math>
:<math>\begin{align}
\int \csc^3{x} \, dx &= -\frac{1}{2}\csc x \cot x - \frac{1}{2}\ln|\csc x + \cot x| + C\\
&= -\frac{1}{2}\csc x \cot x + \frac{1}{2}\ln|\csc x - \cot x| + C
\end{align}</math>
:<math>\int
:<math>\int \frac{dx}{\csc{x}
:<math>\int \frac{dx}{\csc{x} - 1} = - x + \frac{2}{\cot{\frac{x}{2}}-1}+C</math>
== Tích phân chỉ chứa hàm [[hàm lượng giác|cotang]] ==
:<math>\int\cot ax\
:
: <math>\int\cot^n ax\,dx = -\frac{1}{a(n-1)}\cot^{n-1} ax - \int\cot^{n-2} ax\,dx \qquad\mbox{(}n\neq 1\mbox{)}</math>
: <math>\int\frac{dx}{1 + \cot ax} = \int\frac{\tan ax\,dx}{\tan ax+1} = \frac{x}{2} - \frac{1}{2a}\ln|\sin ax + \cos ax|+C </math>
: <math>\int\frac{dx}{1 - \cot ax} = \int\frac{\tan ax\,dx}{\tan ax-1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln|\sin ax - \cos ax|+C </math>
== Tích phân chứa hàm [[sin]] và [[hàm lượng giác|cos]] ==
Tích phân một hàm hữu tỉ (phân thức) của {{math|sin}} và {{math|cos}} có thể được tính bằng [[quy tắc Bioche]].
: <math>\int\frac{dx}{\cos ax\pm\sin ax} = \frac{1}{a\sqrt{2}}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}\pm\frac{\pi}{8}\right)\right|+C</math>
Hàng 126 ⟶ 162:
: <math>\int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^n} = \frac{1}{n-1}\left(\frac{\sin x - \cos x}{(\cos x + \sin x)^{n - 1}} - 2(n - 2)\int\frac{dx}{(\cos x + \sin x)^{n-2}} \right)</math>
: <math>\int\frac{\cos ax\
: <math>\int\frac{\
: <math>\int\frac{\
: <math>\int\frac{\
: <math>\int\frac{\
: <math>\int\frac{\
: <math>\int
: <math>\int
: <math>\int(\sin^n ax)(\cos ax)\
: <math>\int(\sin
: <math>\begin{align}
\int(\sin^n ax)(\cos^m ax)\,dx &= -\frac{(\sin^{n-1} ax)(\cos^{m+1} ax)}{a(n+m)}+\frac{n-1}{n+m}\int(\sin^{n-2} ax)(\cos^m ax)\,dx \qquad\mbox{(}m,n>0\mbox{)} \\
&= \frac{(\sin^{n+1} ax)(\cos^{m-1} ax)}{a(n+m)} + \frac{m-1}{n+m}\int(\sin^n ax)(\cos^{m-2} ax)\,dx \qquad\mbox{(} m,n>0 \mbox{)}
\end{align}</math>
: <math>\int\frac{dx}{(\sin ax)(\cos
: <math>\int\frac{dx}{(\sin
: <math>\int\frac{dx}{(\sin^n ax)(\cos ax)} = -\frac{1}{a(n-1)\sin^{n-1} ax}+\
: <math>\int\frac{\sin ax\,dx}{\cos^n ax} = \frac{1}{a(n-1)\cos^{n-1} ax} +C\qquad\mbox{(}n\neq 1\mbox{)}</math>
: <math>\int\frac
: <math>\int\frac{\sin^2 ax\
: <math>\int\frac{\sin^
: <math>\int\frac{\sin^n ax\
\dfrac{\sin^{n+1} ax}{a(m-1)\cos^{m-1} ax}-\dfrac{n-m+2}{m-1}\displaystyle\int\dfrac{\sin^n ax\,dx}{\cos^{m-2} ax} &\mbox{(}m\neq 1\mbox{)} \\
\dfrac{\sin^{n-1} ax}{a(m-1)\cos^{m-1} ax}-\dfrac{n-1}{m-1}\displaystyle\int\dfrac{\sin^{n-2} ax\,dx}{\cos^{m-2} ax} &\mbox{(}m\neq 1\mbox{)} \\
-\dfrac{\sin^{n-1} ax}{a(n-m)\cos^{m-1} ax}+\dfrac{n-1}{n-m}\displaystyle\int\dfrac{\sin^{n-2} ax\,dx}{\cos^m ax} &\mbox{(}m\neq n\mbox{)}
\end{cases}</math>
: <math>\int\frac{\
: <math>\int\frac{\cos^2 ax\
: <math>\int\frac{\cos^2 ax\
: <math>\int\frac{\cos^
-\dfrac{\cos^{n+1} ax}{a(m-1)\sin^{m-1} ax} - \dfrac{n-m+2}{m-1}\displaystyle\int\dfrac{\cos^n ax\,dx}{\sin^{m-2} ax} &\mbox{(}m\neq 1\mbox{)} \\
\end{cases}</math>
== Tích phân chứa hàm [[sin]] và [[hàm lượng giác|tang]] ==
: <math>\int \sin ax \tan ax\
: <math>\int\frac{\tan^n ax\,dx}{\sin^2 ax} = \frac{1}{a(n-1)}\tan^{n-1} (ax) +C\qquad(n\neq 1)\,\!</math>
== Tích phân chứa hàm [[hàm lượng giác|cos]] và [[hàm lượng giác|tang]] ==
: <math>\int\frac{\tan^n ax\
== Tích phân chứa hàm [[sin]] và [[hàm lượng giác|cotang]] ==
: <math>\int\frac{\cot^n ax\
== Tích phân chứa hàm [[hàm lượng giác|cos]] và [[hàm lượng giác|cotang]] ==
: <math
== Tích phân chứa hàm [[Hàm lượng giác|secant]] và [[Hàm lượng giác|tang]] ==
: <math> \int(\sec x)(\tan x)\,dx= \sec x + C</math>
== Tích phân chứa hàm [[Hàm lượng giác|cosecant]] và [[cotang]] ==
: <math> \int(\csc x)(\cot x)\,dx= -\csc x + C</math>
== Tích phân trên một phần tư đường tròn ==
: <math>\int_{{0}}^{{\frac{\pi}{2}}} \sin^n x \, dx = \int_{{0}}^{{\frac{\pi}{2}}} \cos^n x \, dx = \begin{cases}
\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & n=2,4,6,8,\ldots \\
\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3}, & n=3,5,7,9,\ldots \\
1, & n=1
\end{cases}</math>
== Tích phân với giới hạn đối xứng ==
: <math>\int_{{-c}}^{{c}}\sin
: <math>\int_{{-c}}^{{c}}\
: <math>\int_{{-c}}^{{c}}\tan {x}\,dx = 0 </math>
: <math>\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\cos^2 {\frac{n\pi x}{a}}\,dx = \frac{a^3(n^2\pi^2-6)}{24n^2\pi^2} \qquad</math> ({{mvar|n}} là số nguyên dương lẻ)
: <math>\int_{\frac{-a}{2}}^{\frac{a}{2}} x^2\sin^2 {\frac{n\pi x}{a}}\,dx = \frac{a^3(n^2\pi^2-6(-1)^n)}{24n^2\pi^2} = \frac{a^3}{24} (1-6\frac{(-1)^n}{n^2\pi^2}) \qquad</math> ({{mvar|n}} là số nguyên dương)
== Tích phân trên toàn bộ đường tròn ==
: <math>\int_{{0}}^{{2 \pi}}\sin^{2m+1}{x}\cos^{2n+1}{x}\,dx = 0 \qquad m,n \in \mathbb{Z}</math>
==Tham khảo==
{{Tham khảo}}
* {{cite book | last=Gradshteĭn | first=I. S. | title=Table of Integrals, Series, and Products | publisher=Academic Press | publication-place=Waltham, MA | year=2015 | isbn=978-0-12-384933-5 | oclc=893676501}}
{{Danh sách tích phân}}
[[Thể loại:Tích phân|Hàm lượng giác]]
|