Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Lý thuyết phạm trù”

'''Lý thuyết phạm trù''' <ref>{{Chú thích sách|url=https://books.google.com/books?id=zLs8BAAAQBAJ|title=Category Theory|last=Awodey|first=Steve|publisher=Oxford University Press|year=2010|isbn=978-0-19-923718-0|edition=2nd|series=Oxford Logic Guides|volume=49|author-link=Steve Awodey|orig-year=2006}}</ref> chínhmô thứchình hóa các [[Cấu trúc (toán học)|cấu trúc toán học]] và các khái niệm củatương nóứng theo các [[Đồ thị có hướng|biểugiản đồ]] được [[Đồ thị có hướng|định hướng]] có nhãn gọi là một ''[[Phạm trù (toán học)|thểphạm loạitrù]]'', có các nút được gọi là ''các đối tượng'' (hay ''vật'') và các cạnh có nhãn được gọi là ''mũi tên'' (hoặc hình''cấu tháixạ'')<ref>Ngô Bảo Châu, 2003, Giáo trình hình học đại số.</ref>. Một [[Phạm trù (toán học)|phạm trù]] có hai thuộc tính cơ bản: khả năng [[Hàm hợp|soạnphép thảohợp]] các mũicấu tênxạ một cáchcó [[Tínhtính kết hợp|kết hợp]] và sự tồn tại của mộtcấu mũi tênxạ [[Hàm đồng nhất|nhậnđồng dạngnhất]] cho mỗi đối tượng. Ngôn ngữ của lý thuyết phạm trù đã được sử dụng để chínhmô thức hóatả các khái niệm về [[trừu tượng]] cấp cao khác như [[Lý thuyết tập hợp|tập hợp]], [[Lý thuyết vành|vành]] và [[Lý thuyết nhóm|nhóm]]. Một cách không chính thức, lý thuyết phạm trù làmô mộttả lý thuyết chung vềcác [[Hàm số|chứcánh năngxạ]] (mỗi cấu xạ thường được hiểu như một ánh xạ giữa hai vật thể).

Một số thuật ngữ được sử dụng trong lý thuyết phạm trù, bao gồm thuật ngữ "hìnhcấu tháixạ", được sử dụng khác với cách sử dụng của chúng trong phần còn lại của toán học. Trong lý thuyết phạm trù, các hìnhcấu tháixạ tuân theo các điều kiện cụ thể đối với chính lý thuyết phạm trù.

[[Samuel Eilenberg]] và [[Saunders Mac Lane]] giới thiệu các khái niệm về loạiphạm trù, functorshàm tử, và phép biến đổi tự nhiên trong nghiên cứu của họ về [[Tô pô đại số|topotô-pô đại số]] thời gian từ từ 1942-1945, với mục tiêu tìm hiểu các quá trình bảo tồntoàn cấu trúc toán học.

Phạm trù đạilà diệnmột chosự trừu tượng củahóa các khái niệm toán học khác. Nhiều lĩnh vực toán học có thể được chính thức hóa bằng lý thuyết phạm trù như là các [[Phạm trù (toán học)|phạm trù]]. Do đó lý thuyết phạm trù sử dụng sự trừu tượng để làm cho nó có thể phát biểu và chứng minh nhiều kết quả toán học phức tạp và tinh tế trong các lĩnh vực này một cách đơn giản hơn nhiều.<ref>{{Chú thích sách|title=Mathematical physics|last=Geroch|first=Robert|publisher=University of Chicago Press|year=1985|isbn=978-0-226-28862-8|edition=[Repr.]|location=Chicago|pages=7|quote=Note that theorem 3 is actually easier for categories in general than it is for the special case of sets. This phenomenon is by no means rare.}}</ref>

Một ví dụ cơ bản của một danhphạm mụctrù là thể[[Lý loạithuyết củatập hợp|phạm trù các tập hợp]], trong đó các đối tượng là các tập hợp và các mũicấu tênxạ là các hàm từ bộtập hợp này sang bộtập hợp khác. Tuy nhiên, các đối tượng của một danhphạm mụctrù không cầnnhất thiết phải đượclà đặtcác tập hợp và các mũicấu tênxạ cũng không cầnnhất thiết phải là các hàm. Bất kỳ cách nào để chínhhình thức hóa một khái niệm toán học sao cho nó đáp ứng các điều kiện cơ bản về hành vi của các đối tượng và mũicấu tênxạ đều là một phạm trù hợp lệ và tất cả các kết quả của lý thuyết phạm tùtrù đều áp dụng cho nó.