Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Cận trên đúng”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Thẻ: Sửa đổi di động Sửa đổi từ trang di động |
n →Cận trên cực tiểu: thêm một vài đường dẫn |
||
Dòng 1:
{{chú thích trong bài}}
[[Tập tin:Supremum illustration.png|nhỏ|phải|300px| Một tập hợp ''A'' gồm các số thực (được vẽ bằng các chấm màu xanh), tập hợp các cận trên của ''A'' (các chấm màu đỏ), và giá trị nhỏ nhất của các cận trên này, tức là, cận trên đúng của ''A'' (được vẽ bằng một hình thoi màu đỏ).]]
Trong [[toán học]], giả sử ''S'' là tập con của một [[Tập hợp sắp thứ tự một phần|tập được sắp một phần]] ''T'', '''cận trên đúng ''' (sup) của ''S'', nếu tồn tại, là [[
Cận trên đúng thường được dùng cho các tập con của [[số thực]], [[số hữu tỉ]], hay cho bất kỳ một cấu trúc toán học nào mà trong đó có định nghĩa một cách rõ ràng khái niệm một phần tử " lớn-hơn-hay-bằng " một phần tử khác. Định nghĩa này dễ dàng được tổng quát hóa cho các tập hợp trừu tượng hơn trong [[lý thuyết sắp]], mà ở đó người ta khảo sát các [[Tập hợp sắp thứ tự một phần|tập được sắp một phần]] bất kỳ.
Khái niệm cận trên đúng không trùng với các khái niệm như [[cận trên]] ''[[Phần tử tối đại và phần tử
== Cận trên đúng của một tập các số thực ==
Trong [[giải tích toán học|giải tích]], '''cận trên đúng''' hay '''cận trên nhỏ nhất''' của một tập các [[số thực]] ''S'' được ký hiệu là sup(''S'') và được định nghĩa là số thực nhỏ nhất mà lớn hơn hoặc bằng với mọi số trong ''S''. Một tính chất quan trọng của tập số thực là [[tính đủ (lý thuyết sắp)|tính đủ]]: mọi tập con [[Tập hợp rỗng|không rỗng]] của tập số thực mà bị chặn trên thì có một cận trên đúng và cận trên đúng này cũng là một số thực.
=== Các ví dụ ===
Dòng 36:
:<math>\sup \varnothing = -\infty\,</math>
Nếu cận trên đúng của một tập hợp lại thuộc tập hợp đó, thì nó chính là [[Phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất|phần tử lớn nhất]] của tập hợp đó. Khái niệm ''[[Phần tử tối đại và phần tử tối tiểu|phần tử cực đại]]'' cũng có thể dùng ở đây vì nó đồng nghĩa với khái niệm phần tử lớn nhất chừng nào ta vẫn còn giới hạn đối tượng khảo sát là các số thực hay với bất kỳ một [[Tập hợp sắp thứ tự một phần|tập được sắp toàn phần]] nào đó.
Để chứng minh rằng ''a'' = sup(''S''), người ta thường chỉ ra ''a'' là một cận trên của ''S'' và bất kỳ một cận trên nào của ''S'' đều lớn hơn ''a''. Một cách khác tương đương, ta có thể chỉ ra ''a'' là một cận trên của ''S'' và bất kỳ một số nào nhỏ hơn ''a'' đểu không thể là cận trên của ''S''.
Dòng 42:
== Cận trên đúng trong các tập được sắp một phần ==
Cận trên đúng là một khái niệm quan trọng trong [[lý thuyết sắp]], và trong lý thuyết này chúng được mang tên là [[nối (toán học)|nối]] (đặc biệt trong [[
Một cách hình thức, chúng ta có thể phát biểu: Cho tập con ''S'' của một [[Tập hợp sắp thứ tự một phần|tập được sắp một phần]] bất kỳ (''P'', ≤), một '''cận trên đúng''' hay '''cận trên nhỏ nhất''' của ''S'' là phần tử ''u'' trong ''P'' sao cho
# ''x'' ≤ ''u'' với mọi ''x'' trong ''S'', và
# với bất kỳ ''v'' trong ''P'' thỏa ''x'' ≤ ''v'' với mọi ''x'' trong ''S'' cũng sẽ thỏa ''u'' ≤ ''v''.
Dòng 51:
Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu ''S'' có một cận trên đúng, khi đó cận trên đúng này là duy nhất (phần tử nhỏ nhất trong một tập được sắp một phần, nếu có, phải là duy nhất): nếu ''u''<sub>1</sub> và ''u''<sub>2</sub> đều là cận trên đúng của ''S'' thì dẫn đến ''u''<sub>1</sub> ≤ ''u''<sub>2</sub> và ''u''<sub>2</sub> ≤ ''u''<sub>1</sub>, đồng thời do ≤ là bất đối xứng, ta suy ra ''u''<sub>1</sub> = ''u''<sub>2</sub>.
Nếu cận trên đúng tồn tại, nó có thể thuộc hoặc không thuộc''S''. Nếu ''S'' chứa một [[Phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất|phần tử lớn nhất]], thì phần tử ấy chính là cận trên đúng; và nếu không, thì cận trên đúng nếu có sẽ không thuộc ''S''.
Khái niệm [[tính đối ngẫu(lý thuyết sắp)|đối ngẫu]] với cận trên đúng là cận dưới lớn nhất mà được gọi là [[cận dưới đúng]] và cũng còn được gọi là [[gặp (toán)|gặp]].
Dòng 64:
=== Phần tử lớn nhất ===
Sự khác biệt giữa [[Phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất|phần tử lớn nhất]] với cận trên đúng của một tập hợp là phần tử lớn nhất phải là một phần tử thuộc tập đó, còn cận trên đúng thì không cần. Lấy ví dụ, xét tập các số thực âm. Vì 0 không phải là số âm, tập này không có phần tử lớn nhất: với mọi phần tử của tập các số thực âm, luôn có phần tử lớn hơn. Cụ thể, với bất kỳ một số thực âm ''x'', có một số thực âm ''x/2'', lớn hơn ''x''. Mặt khác, cận trên của tập các số thực âm rõ ràng là một tập con của tập số thực bao gồm tất cả các số thực lớn hơn hay bằng 0. Vậy, 0 là cận trên nhỏ nhất của tập số thực âm và do đó cận trên đúng là 0.
Nói chung, tình huống này xảy ra cho tất cả các tập con mà không có phần tử lớn nhất. Ngược lại, nếu một tập chứa phần tử lớn nhất thì nó cũng sẽ có cận trên đúng chính bằng phần tử lớn nhất đó.
Dòng 70:
=== Phần tử cực đại ===
Để có một ví dụ trong đó không có phần tử lớn nhất mà lại có một số [[Phần tử tối đại và phần tử tối tiểu|phần tử cực đại]], ta khảo sát tập gồm tất cả các tập con của tập số tự nhiên (gọi là [[tập
=== Cận trên cực tiểu ===
Dòng 91:
== Xem thêm ==
* [[Infimum và supremum|Cận dưới đúng]]
== Tham khảo ==
Dòng 99:
== Liên kết ngoài ==
* [http://planetmath.org/encyclopedia/Supremum.html Cận trên đúng] (''PlanetMath'')
▲[[Thể loại:Order theory]]
| |||