Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Không gian định chuẩn”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
→Dãy hội tụ, Cauchy: cấu trúc tô-pô |
|||
Dòng 56:
::<math>\lbrace{f_i(x) \rbrace}_{1\leq i \leq n}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}</math>,
::<math>x_i \in \mathbb{R}, \qquad \forall i \in \overline{1,..,m}</math>
== Cấu trúc tô-pô ==
Một không gian định chuẩn được trang bị một [[Tô pô|cấu trúc tô-pô]] với một cơ sở là tập hợp các quả cầu mở. Các khái niệm tô-pô (như [[Tập đóng|đóng]], [[Tập mở|mở]], [[Tập trù mật|trù mật]],...) có thể được diễn đạt theo ngôn ngữ của không gian định chuẩn.
Tính chất
* Một không gian định chuẩn là một không gian tô-pô liên thông, Hausdorff, không compact.
* Một không gian định chuẩn hữu hạn chiều là một không gian [[compact địa phương]].
==Các định nghĩa, định lý liên quan khác==
Hàng 116 ⟶ 124:
Lúc đó, <math>a</math> là giới hạn của dãy <math>\lbrace{x_n \rbrace} </math>.
Dãy <math>\lbrace x_n{ \rbrace}</math> là '''[[dãy Cauchy]]''' trong <math>E</math> nếu và chỉ nếu:
:<math>\forall \epsilon > 0 </math>, ta tìm được <math> N (\epsilon) \in \mathbb{N} </math> sao cho <math> \left\Vert x_n - x_m \right\Vert < \epsilon; \qquad \forall n >m> N (\epsilon) </math>
Nếu dãy <math>\lbrace x_n{ \rbrace}</math> là dãy hội tụ trong <math>E</math> thì nó sẽ Cauchy trong <math>E</math>.
Nếu mọi dãy <math>\lbrace x_n{ \rbrace}</math> Cauchy đều hội tụ trong không gian định chuẩn <math>\left(E,\left\Vert \right\Vert \right)</math> thì <math>E</math> là '''[[không gian Banach]]'''.<ref>ương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005, Định lý 1.6, trang 10</ref>
Ví dụ:
| |||