Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Đơn đạo”

Trong [[toán học]], '''đơn đạo''' là ngành nghiên cứu về cách các đối tượng trong [[giải tích toán học]], [[tô pô đại số]], [[hình học đại số]] và [[hình học vi phân]] hành xử khi chúng "chạy vòng quanh" một điểm kỳ dị. Như tên của nó, ý nghĩa cơ bản của ''đơn đạo'' xuất phát từ "đường chạy vòng quanh một điểm đơn". Nó liên quan chặt chẽ với các [[Không gian phủ|ánh xạ phủ]] và ramification của chúng; khía cạnh làm phát sinh hiện tượng đơn đạo là một số [[hàm số]] nhất định không còn là đơn trị khi "chạy vòng quanh" một đường dẫn bao quanh một điểm kỳ dị. Độ thiếu đơn đạo được đo bởi '''nhóm đơn đạo''': một [[Nhóm (toán học)|nhóm]] các phép biến đổi tác động lên dữ liệu mã hóa những gì xảy ra khi chúng ta "chạy vòng" theo một chiều.

Đặt {{Mvar|X}} là một [[Không gian tô pô|không gian tôpô]] liên thông địa phương có gốc với gốc {{Mvar|x}} và đặt <math>p:\tilde{X}\to X</math> là một [[Không gian phủ|ánh xạ phủ]] với [[Thớ (toán học)|thớ]] (rời rạc) <math>F = p^{-1}(x)</math>. Đối một với vòng lặp {{Math|γ: [0, 1] → ''X''}} tại {{Mvar|x}}, ký hiệu một [[Tính nâng đồng luân|phép nâng]] qua ánh xạ phủ, bắt đầu từ một điểm <math>\tilde{x}\in F</math>, bởi <math>\tilde{\gamma}</math>. Ký hiệu <math>\tilde{x}\cdot \tilde{\gamma}</math> là điểm cuối <math>\tilde{\gamma}(1)</math>, thường khác với <math>\tilde{x}</math>. Có những định lý nói rằng việc xây dựng này đưa ra một [[tác động nhóm]] được định nghĩa tốt của [[Tác động nhóm|nhóm]] [[Nhóm cơ bản|cơ bản]] {{Math|π₁(''X'', ''x'')}} lên {{Mvar|F}}, và rằng [[Tác động nhóm|stabilizer]] của <math>\tilde{x}</math> là <math>p_{*}(\pi_1(\tilde{X},\tilde{x}))</math>, nghĩa là, một phần tử {{Math|[γ]}} cố định một điểm trong {{Mvar|F}} khi và chỉ khi nó được biểu thị bằng hình ảnh của một vòng lặp trong <math>\tilde{X}</math> tại điểm <math>\tilde{x}</math>. Tác động này được gọi là '''tác động đơn đạo''' và đồng cấu tương ứng {{Math|{{pi}}₁(''X'',&nbsp;''x'')&nbsp;→&nbsp;Aut(''H''_*(''F_x''))}} vào nhóm tự đẳng cấu trên {{Mvar|F}} đựoc gọi là '''đơn đạo đại số'''. Ảnh của đồng cấu này là '''nhóm đơn đạo'''. Có một ánh xạ khác {{Math|{{pi}}₁&nbsp;(''X'',&nbsp;''x'')&nbsp;→&nbsp;Diff(''F_x'')/Is(''F_x'')}} có ảnh được gọi là '''nhóm đơn đạo hình học''' .

Những ý tưởng này xuất hiện rõ ràng đầu tiên trong [[giải tích phức]]. Trong quá trình [[thác triển giải tích]], một hàm [[Hàm giải tích|giải tích]] {{Math|''F''(''z'')}} trong một số tập con mở {{Mvar|E}} của {{Math|'''ℂ'''&nbsp;\&nbsp;{0}}} có thể được thác triển trở lại vào {{Mvar|E}}, nhưng với các giá trị mới. Ví dụ: lấy

thì thác triển giải tích theo đường tròn

ngược chiều kim đồng hồ sẽ không cho {{Math|''F''(''z'')}} mà cho

Trong trường hợp này, nhóm đơn đạo là [[Nhóm cyclic|nhóm xiclic vô hạn]] và không gian phủ là phủ phổ dụng của mặt phẳng phức bị thủng. Phủ này có thể được hình dung như helicoid thu hẹp về {{Math|''ρ'' > 0}} .

* PJ Higgins, "Thể loại và nhóm", van Nostrand (1971) [http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/7/tr7abs.html In lại TAC]