Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Đạo hàm toàn phần”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
→Đạo hàm toàn phần như là một ánh xạ tuyến tính: ví dụ minh họa |
n replaced: . → . (6) using AWB |
||
Dòng 1:
Trong [[toán học]], '''đạo hàm toàn phần''' của một hàm <math>f</math> tại một điểm là xấp xỉ tuyến tính tốt nhất gần điểm này của hàm đối với các đối số của nó. Không giống như [[Đạo hàm riêng|các đạo hàm riêng]], đạo hàm toàn phần xấp xỉ hàm số theo tất cả các đối số. Trong nhiều tình huống, điều này giống như xem xét tất cả các đạo hàm riêng một cách đồng thời (cũng có những tình huống đặc biệt).
▲Trong [[toán học]], '''đạo hàm toàn phần''' của một hàm <math>f</math> tại một điểm là xấp xỉ tuyến tính tốt nhất gần điểm này của hàm đối với các đối số của nó. Không giống như [[Đạo hàm riêng|các đạo hàm riêng]], đạo hàm toàn phần xấp xỉ hàm số theo tất cả các đối số. Trong nhiều tình huống, điều này giống như xem xét tất cả các đạo hàm riêng một cách đồng thời (cũng có những tình huống đặc biệt).
== Đạo hàm toàn phần như là một ánh xạ tuyến tính ==
Đạo hàm riêng mô tả sự thay đổi của hàm số theo một hướng nhất định (ứng với đối số đã chọn). Khi ta xét tất cả các đối số, sự thay đổi của hàm số phụ thuộc cả vào hướng của đối số. Do đó, một cách tự nhiên để thể hiện đạo hàm toàn phần là sử dụng ánh xạ tuyến tính.
Đặt <math>U\subseteq \mathbf{R}^n</math> là một [[Tập mở|tập con mở]]. Một hàm <math>f:U\rightarrow \mathbf{R}^m</math> được gọi là '''khả vi''' ('''toàn phần''') tại một điểm <math>a\in U</math> nếu tồn tại một [[Biến đổi tuyến tính|phép biến đổi tuyến tính]] <math>df_a:\mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^m</math> sao cho
: <math>\lim_{x\rightarrow a}\frac{\|f(x)-f(a)-df_a(x-a)\|}{\|x-a\|}=0.</math>
[[Biến đổi tuyến tính|Ánh xạ tuyến tính]] <math>df_a</math> được gọi là '''đạo hàm''' ('''toàn phần''') hoặc '''vi phân''' ('''toàn phần''') của <math>f</math> tại <math>a</math>
Định nghĩa của đạo hàm toàn phần thể hiện rằng <math>df_a</math> là xấp xỉ tuyến tính tốt nhất của <math>f</math> tại điểm <math>a</math>
: <math>f(a + h) = f(a) + df_a(h) + \varepsilon(h),</math>
với <math>\varepsilon(h)</math> là sai số trong phép tính gần đúng. Nói rằng đạo hàm của <math>f</math> tại <math>a</math> là <math>df_a</math> tương đương với
: <math>\varepsilon(h) = o(\lVert h\rVert),</math>
với <math>o</math> là [[Kí hiệu O lớn#Ký hiệu o nhỏ|ký hiệu o nhỏ]] và chỉ ra rằng <math>\varepsilon(h)</math> nhỏ hơn nhiều so với <math>\lVert h\rVert</math> khi <math>h \to 0</math>. Đạo hàm toàn phần <math>df_a</math>, nếu tồn tại, là duy nhất.
Đạo hàm toàn phần liên hệ với các đạo hàm riêng phần như sau:
'''Định lý''' - Giả sử <math>f</math> là một hàm khả vi tại <math>a</math> với đạo hàm toàn phần <math>df_a</math>. Thế thì đạo hàm theo hướng <math>u</math>: <math>f'(a,u)</math> tồn tại với mọi <math>u\in\mathbb{R}^n</math> và ta có
<math>f'(a,u)=df_a(u)</math>
Với <math>u</math> là các véc-tơ cơ sở tiêu chuẩn, ta thu được các đạo hàm riêng phần.<ref>Apostol (1981), Theorem 12.3</ref>
Ngược lại, ta cũng có một điều kiện đủ sau đây.
'''Định lý''' - Giả sử <math>f</math> là một hàm thỏa mãn
Hàng 38 ⟶ 37:
== Đạo hàm toàn phần như là một dạng vi phân ==
Khi hàm đang xem xét có giá trị thực, đạo hàm toàn phần có thể được biểu diễn như là một [[dạng vi phân]]
Xét một véc-tơ trong <math>\textbf{R}^n</math>
: <math>\Delta x = \begin{pmatrix} \Delta x_1, & \cdots &, & \Delta x_n \end{pmatrix}^T</math>
Ta có
: <math>f(a + \Delta x) - f(a) - df_a(\Delta x) = o(\vert\Delta x\vert)</math>
với
: <math>df_a = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)dx_i.</math>
là một <math>1</math>-dạng vi phân.
== Đạo hàm của ánh xạ hợp ==
Với hai hàm số <math>f</math> và <math>g</math>, đạo hàm toàn phần của hàm hợp <math>g \circ f</math> tại <math>a</math> thỏa mãn
: <math>d(g \circ f)_a = dg_{f(a)} \circ df_a.</math>
Nếu các đạo hàm toàn phần của <math>f</math> và <math>g</math> được xác định bởi các [[ma trận Jacobi]], phép hợp ở vế phải ứng với phép nhân ma trận.
== Chú thích ==
| |||