Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Định lý Menelaus”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Thẻ: Thay thế nội dung Lùi lại thủ công Soạn thảo trực quan |
n Đã lùi lại sửa đổi của 113.173.30.255 (Thảo luận) quay về phiên bản cuối của TuanminhBot Thẻ: Lùi tất cả |
||
Dòng 1:
[[Tập tin:Định lý Menelaus.svg|thumb|350px|right|Định lý Menelaus]]
'''Định lý Menelaus'''<ref>Định lý được đặt theo tên của nhà toán học Menelaus xứ Alexandria (thế kỷ II - III), người tìm ra định lý này trong quyển sách ''Sphaerica'' vào năm 98</ref> là một định lý cơ bản trong hình học [[tam giác]], được phát biểu như sau: ''Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi''
:<math>\frac{\overline{FA}}{\overline{FB}} \cdot \frac{\overline{DB}}{\overline{DC}} \cdot \frac{\overline{EC}}{\overline{EA}} = 1.</math>
==Chứng minh==
'''''*Phần thuận''''': Giả sử D, E, F thẳng hàng với nhau. Vẽ đường thẳng qua C và song song với AB cắt đường thẳng DE tại G.
<br>
Vì CG//AB (c.dựng) nên theo định lý Ta-lét, ta có:
<br>
<math>\frac{DB}{DC} = \frac{FB}{CG}</math> (1)
và <math>\frac{EC}{EA} = \frac{CG}{FA}</math> (2)
<br>
Nhân (1) và (2) và vế theo vế
<br>
<math>\frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA} = \frac{FB}{FA} </math>
<br>
Từ đó suy ra
<br>
<math>\frac{FA}{FB}\cdot \frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA}=1</math>
<br>
<nowiki>*</nowiki>'''''Phần đảo''''': Giả sử <math>\frac{FA}{FB}\cdot \frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA} = 1</math>. Khi đó gọi F' là giao của đường thẳng ED với đường thẳng AB.
<br>
Theo chứng minh ở trên, ta có <math>\frac{F'A}{F'B}\cdot \frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA} = 1</math>
<br>
Kết hợp giả thuyết suy ra <math>\frac{FA}{FB} = \frac{F'A}{F'B}</math>
<br>
Hay <math>\frac{FA}{F'A} = \frac{FB}{F'B} = \frac{FA + FB}{F'A + F'B} = \frac{AB}{AB} = 1 </math>
<br>
Nên F'A = FA và F'B = FB
<br>
Do đó F' trùng với F.
<br>
Vậy định lý đã được chứng minh.
==Xem thêm==
*[[Định lý Carnot (hình học)|Định lý carnot]]
*[[Định lý Ceva]]
==Tham khảo==
{{tham khảo}}
* Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. "Menelaus's Theorem." §3.4 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 66–67, 1967.
* Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 122, 1987.
* Graustein, W. C. Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, p. 81, 1930.
* Grünbaum, B. and Shepard, G. C. "Ceva, Menelaus, and the Area Principle." Math. Mag. 68, 254-268, 1995.
* Honsberger, R. "The Theorem of Menelaus." Ch. 13 in Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 147–154, 1995.
* Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, pp. 42–44, 1928.
* Graustein, W. C. Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, p. 81, 1930.
* Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 150, 1991.
{{sơ khai hình học}}
[[Thể loại:Định lý hình học|M]]
[[Thể loại:Hình học tam giác]]
| |||