Khác biệt giữa các bản “Phép biến đổi Laplace”

không có tóm lược sửa đổi
n (replaced: giải phương trình → giải phương trình (3), Giải phương trình → Giải phương trình using AWB)
{{chú thích trong bài}}
'''Biến đổi Laplace''' là một [[biến đổi tích phân]] của hàm số <math>f(t)</math> từ miền [[thời gian]] sang miền [[tần số phức]] <math>F(s)</math>., '''Biếnđược đổitạo Laplace'''ra bởi nhà toán học người Pháp [[Pierre-Simon Laplace]]. cùngCùng với [[biến đổi Fourier]], là haiphép biến đổi rấtnày hữu íchmột trong thườnghai đượcbiến sửđổi dụnghữu ích trong việc giải các bài toán vật lý., Quabằng biếncách đổiđơn Laplace,giản hóa các phép toán giải tích phức tạp như [[đạo hàm và vi phân của hàm số|đạo hàm]], [[tích phân]] được đơn giản hóa thành các phép tính đại số (giống như cách mà [[Logarit|hàm logarit]] chuyển một phép toán nhân các số thành phép cộng các logarit của chúng). Vì vậy nó đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình [[Vi phân ngẫu nhiên|vi phân]], phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, những phương trình thường xuất hiện trong các bài toán vật lý, trong phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hòa, các hệ cơ học,... Bởi vì qua biến đổi Laplace các phương trình này có thể chuyểntrở thành các phương trình đại số đơn giản hơn. GiảiĐối ravới các nghiệm là cáccủa [[hàm ảnh]] trong không gian ''p'', chúng ta dùng [[biến đổi Laplace ngược]] để có lại hàm gốc trong không gian thực ''t''.
== Lịch sử ==
Từ năm 1744, [[Leonhard Euler]] đã đưa ra các tích phân dưới đây để giải các phương trình vi phân:
 
<math>z= \int X(x)e^{ax}dx </math> <math>z= \int X(x)x^{A}dx </math>
 
[[Joseph Louis Lagrange]], một người rất ngưỡng mộ Euler, khiđã nghiên cứu cách tính tích phân của [[hàm mật độ xác suất]], ông đã đưa ra biểu thức tích phân:
để giải các phương trình vi phân.
 
[[Joseph Louis Lagrange]], người rất ngưỡng mộ Euler, khi nghiên cứu cách tính tích phân của [[hàm mật độ xác suất]], ông đã đưa ra biểu thức tích phân
 
<math>\int X(x)e^{ax}a^xdx </math>
 
NhữngNăm dạng1782, tích phân nàyLaplace đã thu hút sự chú ý củađến Laplacecác vàodạng nămtích 1782phân này khi ông tiếp tục công trình của Euler là sử dụng phép tính tích phân để giải các phương trình. NămĐến năm 1785, vượt ra khỏi giới hạn giải quyết các phương trình bằng phương pháp tích phân, ông đã bắt đưa ra các biến đổi mà sau này đãsẽ trở nên rất phổ biến. Ôngvề sửsau, với dụngphép tích phân:
 
<math>\int x^s \Phi\ (s) dx </math>
 
- tương tự với [[biến đổi Mellin]], đểbằng cách biến đổi phương trình [[sai phân]] để tìm ra lời giải cho phương trình biến đổi. Với cách thức tương tự như vậy, ôngLaplace đã suy ra các tính chất của biến đổi Laplace. Ông cũng nhận ra rằng phương pháp của [[Joseph Fourier]] trong [[chuỗi Fourier]] để [[giải phương trình]] khuếch tán chỉ có thể áp dụng trong một vùng không gian giới hạn.
 
Laplace cũng nhận ra rằng phương pháp của [[Joseph Fourier]] trong [[chuỗi Fourier]] để [[giải phương trình]] khuếch tán chỉ có thể áp dụng trong một vùng không gian giới hạn.
 
== Định nghĩa ==
Phép biến đổi Laplace là cách tiếp cận miền tần số cho các tín hiệu thời gian liên tục bất kể hệ thống cótính ổn định haycủa khônghệ ổn địnhthống. Phép biến đổi Laplace của hàm số {{math|''f''(''t'')}}, được định nghĩa cho tất(với cảmọi [[số thực]] {{math|''t'' ≥ 0}},) là hàm số {{math|''F''(''s'')}}, Đó là một biến đổi đơn phương được định nghĩa bởinhư sau:
<math>\mathcal{L}\{f(t)\}= F(s) = \int\limits_{0^-}^{\infty} f(t)e^{-st}dt</math>
Trong đó: <math>s</math> là biến số phức cho bởi <math>s = \sigma+j\omega</math>, (với <math>s</math> là miền tần số, có đơn vị là nghịch đảo củaphần giây (second) <math>s^{-1}</math>
 
Giới hạn <math>0^-</math>chỉ rõ thời điểm bắt đầu ngay trước khi <math>t = 0</math>, chúng tađược dùng giới hạn thấp <math>0^-</math>để lấy tận gốc hàm số <math>f(t)</math> tại thời điểm <math>t = 0</math>.
 
=== Biến đổi Laplace hai phía ===
Một khi nói "biến đổi Laplace" mà không chú ý thêm gì, thường là ta nói đến biến đổi một phía. Biến đổi Laplace có thể được định nghĩa là [[biến đổi Laplace hai phía]] bằng cách mở rộng giới hạn của tích phân đến âm[[Vô tận|vô cực]].
 
<math> F(s)=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-st}dt </math>
 
Nếu nhưNhư vậy, biến đổi Laplace một phía đơn giản sẽ trở thành một trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace hai phía, được xác định bằng cách lấy hàm đã chuyển đổi nhân với [[Hàm bước Heaviside|hàm bước nhảy Heaviside]].
 
=== Biến đổi Laplace ngược ===
{| class="wikitable"
|-
! TínhTÍNH chấtCHẤT!!MiềnMIỀN thờiTHỜI gianGIAN!!MiềnMIỀN tầnTẦN sốSỐ
|-
!Tuyến tính ||<math>a f(t) + b g(t) \ </math> ||<math>a F(s) + b G(s) \ </math>
 
:<math> x_q(t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ x(t) \Delta_T(t) = x(t) \sum_{n=0}^{\infty} \delta(t - n T) </math> <math> = \sum_{n=0}^{\infty} x(n T) \delta(t - n T) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] \delta(t - n T) </math>
:: <math> = \sum_{n=0}^{\infty} x(n T) \delta(t - n T) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] \delta(t - n T) </math>
 
là sự biểu diễn liên tục thời gian (''continuous-time'') của x(t) còn <math> x[n] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ x(nT) \ </math> là biểu diễn sự rời rạc của x(t).