Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Hgg Thẻ: Sửa đổi di động Sửa đổi từ trang di động |
n Đã lùi lại sửa đổi của 117.7.140.4 (Thảo luận) quay về phiên bản cuối của Buiquangtu Thẻ: Lùi tất cả |
||
Dòng 201:
tức tổng chúng là ''nx''<sub>1</sub>, do đó giá trị trung bình cộng là ''x''<sub>1</sub>; và tích các số dưới căn bậc hai là ''x''<sub>1</sub><sup>''n''</sup>, do dó giá trị trung bình nhân lúc này là ''x''<sub>1</sub>; vì vậy, vế một và vế 2 bằng nhau, điều phải chứng minh.
=== Các trường hợp các giá trị không bằng nhau ===
Nếu tất cả các giá trị bằng nhau không bằng nhau, thì giá trị [[Trung bình cộng đơn giản|trung bình cộng]] lớn hơn giá trị [[trung bình nhân]]. Rõ ràng, điều này chỉ có thể xảy ra khi ''n''> 1. Trường hợp này khá phức tạp và được chia ra nhiều trường hợp để chứng minh.
==== Trường hợp ''n ''= 2 ====
Nếu ''n''= 2, tức có hai giá trị ''x''<sub>1</sub> và ''x''<sub>2</sub>, và từ giả thiết ở trên, ta có:
: <math>
\begin{align}
x_1 & \ne x_2 \\[3pt]
x_1 - x_2 & \ne 0 \\[3pt]
\left(x_1 - x_2 \right) ^2 & > 0 \\[3pt]
x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2 & > 0 \\[3pt]
x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2 & > 4 x_1 x_2 \\[3pt]
\left(x_1 + x_2 \right) ^2& > 4 x_1 x_2 \\[3pt]
\Bigl(\frac{x_1 + x_2}{2} \Bigr)^2 & > x_1 x_2 \\[3pt]
\frac{x_1 + x_2}{2} & > \sqrt{x_1 x_2}
\end{align}
</math>
điều phải chứng minh.
==== Trường hợp ''n ''= 2<sup>''k''</sup> ====
Xem xét các trường hợp ''n''= 2 <sup>''k''</sup>, với ''k'' là một số nguyên dương. Chúng tôi tiến hành bằng [[quy nạp toán học]].
Trong trường hợp cơ bản,''k'' = 1, tức ''n'' = 2, bất đẳng thức đã được chứng minh ở trên.
Khi, có một giá trị ''k''> 1 bất kỳ, giả sử rằng bất đẳng thức đúng với <span style="white-space:nowrap">''n'' = 2<sup>''k''−1</sup></span>, và cần chứng minh rằng nó vẫn đúng khi <span style="white-space:nowrap">''n'' = 2<sup>''k''</sup></span>. Để làm như vậy, các bước được thực hiện như sau:
: <math>
\begin{align}
\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{2^k}}{2^k} & {} =\frac{\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}} + \frac{x_{2^{k-1} + 1} + x_{2^{k-1} + 2} + \cdots + x_{2^k}}{2^{k-1}}}{2} \\[7pt]
& \ge \frac{\sqrt[2^{k-1}]{x_1 x_2 \cdots x_{2^{k-1}}} + \sqrt[2^{k-1}]{x_{2^{k-1} + 1} x_{2^{k-1} + 2} \cdots x_{2^k}}}{2} \\[7pt]
& \ge \sqrt{\sqrt[2^{k-1}]{x_1 x_2 \cdots x_{2^{k-1}}} \sqrt[2^{k-1}]{x_{2^{k-1} + 1} x_{2^{k-1} + 2} \cdots x_{2^k}}} \\[7pt]
& = \sqrt[2^k]{x_1 x_2 \cdots x_{2^k}}
\end{align}
</math>
với bất đẳng thức đầu tiên, hai bên đều bằng nhau chỉ khi cả hai điều sau đây là đúng:
:<math>x_1 = x_2 = \cdots = x_{2^{k-1}}</math>
:<math>x_{2^{k-1}+1} = x_{2^{k-1}+2} = \cdots = x_{2^k}</math>
(Trong trường hợp này, trung bình số học thứ nhất và trung bình nhân thứ 1 bằng''x''<sub>1</sub>, và tương tự với trung bình số học thứ hai và trung bình nhân thứ 2); và trong bất đẳng thức thứ hai, Hai bên chỉ bằng nhau nếu hai giá trị trung bình bằng nhau. Vì không phải tất cả hai <sup>''k''</sup> đều bằng nhau, không thể cho cả hai bất đẳng thức được đẳng, vì vậy chúng ta biết rằng:
:<math>\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{2^k}}{2^k} > \sqrt[2^k]{x_1 x_2 \cdots x_{2^k}}</math>
(điều phải chứng minh).
==== Trường hợp ''n ''< 2<sup>''k''</sup> ====
Nếu ''n'' không phải là một hàm mũ tự nhiên cơ số 2, thì nó chắc chắn là nhỏ hơn một số nào đó theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2, vì chuỗi <span style="white-space:nowrap">2, 4, 8,..., 2<sup>''k''</sup>,...</span> không bị chặn trên. Do đó, mà không mất tính tổng quát, với ''m'' giá trị tuân theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2 lớn hơn ''n''.
Vì vậy, nếu ta có ''n'' số, thì ta có thể biểu diễn giá trị trung bình cộng α, và được mở rộng như sau:
:<math>x_{n+1} = x_{n+2} = \cdots = x_m = \alpha.</math>
Chúng tôi sau đó có:
: <math>
\begin{align}\biguplus
\alpha & = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \\[6pt]
& = \frac{\frac{m}{n} \left(x_1 + x_2 + \cdots + x_n \right)}{m} \\[6pt]
& = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + \frac{m-n}{n} \left(x_1 + x_2 + \cdots + x_n \right)}{m} \\[6pt]
& = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + \left(m-n \right) \alpha}{m} \\[6pt]
& = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + x_{n+1} + \cdots + x_m}{m} \\[6pt]
& > \sqrt[m]{x_1 x_2 \cdots x_n x_{n+1} \cdots x_m} \\[6pt]
& = \sqrt[m]{x_1 x_2 \cdots x_n \alpha^{m-n}}\,,
\end{align}
</math>
như vậy:
: <math>
\begin{align}
\alpha^m & > x_1 x_2 \cdots x_n \alpha^{m-n} \\[5pt]
\alpha^n & > x_1 x_2 \cdots x_n \\[5pt]
\alpha & > \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}
\end{align}
</math>
điều phải chứng minh.
==Ứng dụng trong lý thuyết toán==
| |||