Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Logarit”

Lũy thừa có thể được mở rộng thành dạng {{math|''b''^''y''}}, với {{mvar|b}} là một số dương và số mũ {{mvar|y}} là một [[số thực]] bất kỳ.<ref>{{CitationChú thích|last1=Shirali|first1=Shailesh|title=A Primer on Logarithms|publisher=Universities Press|isbn=978-81-7371-414-6|year=2002|location=Hyderabad|url={{google books |plainurl=y |id=0b0igbb3WaQC}}}}, đặc biệt mục 2</ref> Chẳng hạn {{math|''b''⁻¹}} là [[Tỉ lệ nghịch|nghịch đảo]] của {{mvar|b}}, hay bằng {{math|1/''b''}}. Nâng {{mvar|b}} lên lũy thừa 1/2 thì được [[căn bậc hai]] của {{mvar|b}}.

và được ký hiệu là {{math|log_''b''&nbsp;''x''}}.<ref>{{CitationChú thích|last1=Kate|first1=S.K.|last2=Bhapkar|first2=H.R.|title=Basics Of Mathematics|location=Pune|publisher=Technical Publications|isbn=978-81-8431-755-8|year=2009|url={{google books |plainurl=y |id=v4R0GSJtEQ4C|page=1}}}}, chương 1</ref> Để giá trị của logarit được xác định thì cơ số {{mvar|b}} phải là một [[số thực]] dương khác 1 và {{Math|''x''}} là một số dương.{{refn|Điều kiện của {{mvar|x}} và {{mvar|b}} được giải thích trong phần [[#Tính chất trong giải tích|"Tính chất trong giải tích"]].|group=nb}}

{{Collapse bottom}}Các [[máy tính bỏ túi]] điển hình thường tính logarit cơ số 10 và {{mvar|e}}.<ref>{{CitationChú thích|last1=Bernstein|first1=Stephen|last2=Bernstein|first2=Ruth|title=Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability|publisher=[[McGraw-Hill]]|location=New York|series=Schaum's outline series|isbn=978-0-07-005023-5|year=1999|url=https://archive.org/details/schaumsoutlineof00bern}}, tr.&nbsp;21</ref> Logarit cơ số {{mvar|b}} bất kỳ có thể được xác định bằng cách đưa một trong hai logarit đặc biệt này vào công thức trên:

Trong các giá trị của cơ số {{mvar|b}}, có ba cơ số đặc biệt. Chúng gồm {{math|1=''b'' = 10}}, {{math|1=''b'' = [[e (hằng số toán học)|''e'']]}} (hằng [[số vô tỉ]] xấp xỉ bằng 2,71828) và {{math|1=''b'' = 2}}. Trong [[giải tích toán học]], logarit cơ số {{mvar|e}} là phổ biến nhất nhờ các tính chất được giải thích dưới đây. Mặt khác, có thể dễ dàng tính logarit cơ số 10 trong [[hệ thập phân]]:<ref>{{CitationChú thích|last1=Downing|first1=Douglas|title=Algebra the Easy Way|series=Barron's Educational Series|location=Hauppauge, NY|publisher=Barron's|isbn=978-0-7641-1972-9|year=2003|url=https://archive.org/details/algebraeasyway00down_0}}, chương 17, tr. 275</ref>

Do đó, {{math|log₁₀''x''}} có liên hệ với số [[chữ số]] của một [[số nguyên]] dương {{mvar|x}}: đó là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn {{math|log₁₀''x''}}.<ref>{{CitationChú thích|last1=Wegener|first1=Ingo|title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005}}, tr.&nbsp;20</ref> Chẳng hạn, {{math|log₁₀1430}} gần bằng 3,15. Số nguyên liền sau là 4 và là số chữ số trong số 1430. Logarit cơ số {{mvar|e}} và logarit cơ số 2 thường được dùng trong [[lý thuyết thông tin]], có liên quan đến hai đơn vị cơ bản nhất trong thông tin là [[nat]] và [[bit]].<ref>{{citationChú thích|title=Information Theory|first=Jan C. A.|last=Van der Lubbe|publisher=Cambridge University Press|year=1997|isbn=978-0-521-46760-5|page=3|url={{google books |plainurl=y |id=tBuI_6MQTcwC|page=3}}}}</ref> Logarit cơ số 2 cũng được sử dụng trong [[khoa học máy tính]] ([[hệ nhị phân]]); trong [[lý thuyết âm nhạc]] ([[quãng tám]], đơn vị [[Cent (âm nhạc)|cent]]) và trong [[nhiếp ảnh]] để đo [[giá trị phơi sáng]].<ref>{{citationChú thích|title=The Manual of Photography|first1=Elizabeth|last1=Allen|first2=Sophie|last2=Triantaphillidou|publisher=Taylor & Francis|year=2011|isbn=978-0-240-52037-7|page=228|url={{google books |plainurl=y |id=IfWivY3mIgAC|page=228}}}}</ref>

Bảng dưới đây liệt kê các ký hiệu logarit thông dụng và lĩnh vực mà chúng được sử dụng. Một số tài liệu viết {{math|log''x''}} thay vì {{math|log_''b''''x''}} khi cơ số của logarit là cố định tùy theo trường hợp. Ký hiệu {{math|^''b''log''x''}} cũng tồn tại.<ref>{{CitationChú thích|url=http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/l.html|first=Franz|last=Embacher|first2=Petra|last2=Oberhuemer|title=Mathematisches Lexikon|publisher=mathe online: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium|accessdate=2020-06-17|language=de}}</ref> Cột "Ký hiệu ISO" liệt kê các ký hiệu do [[Tổ chức tiêu chuẩn hóa quốc tế]] khuyến nghị ([[ISO 80000-2]]).<ref>{{citationChú thích|chapter-url=https://people.engr.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf|title=International Standard ISO 80000-2|chapter=Quantities and units – Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology|edition=1st|date=December 1, 2009|at=Section 12, Exponential and logarithmic functions, tr.&nbsp;18}}.</ref>

| {{math|lb {{mvar|x}}}}<ref name="gullberg">{{CitationChú thích|title=Mathematics: from the birth of numbers.|first=Jan|last=Gullberg|location=New York|publisher=W. W. Norton & Co|year=1997|isbn=978-0-393-04002-9|url=https://archive.org/details/mathematicsfromb1997gull}}</ref>

| {{math|ld {{mvar|x}}}},<ref name="Bauer_2009">{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=y4uTaLiN-wQC&pg=PA54|title=Origins and Foundations of Computing: In Cooperation with Heinz Nixdorf MuseumsForum|last=Bauer|first=Friedrich L.|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|year=2009|isbn=978-3-642-02991-2|location=|page=54|pages=}}</ref> {{math|log {{mvar|x}}}},<ref>{{citationChú thích|title=Mathematics for Engineers|first1=Georges|last1=Fiche|first2=Gerard|last2=Hebuterne|publisher=John Wiley & Sons|year=2013|isbn=978-1-118-62333-6|page=152|url=https://books.google.com/books?id=TqkckiuuXg8C&pg=PT152|quote=In the following, and unless otherwise stated, the notation {{math|log ''x''}} always stands for the logarithm to the base {{math|2}} of {{mvar|x}}}}.</ref> {{math|lg {{mvar|x}}}},<ref>Xem chú thích 1 trong {{cite journal|last1=Perl|first1=Yehoshua|last2=Reingold|first2=Edward M.|date=December 1977|title=Understanding the complexity of interpolation search|journal=Information Processing Letters|volume=6|issue=6|pages=219–22|doi=10.1016/0020-0190(77)90072-2}}</ref> {{math|log₂''x''}}

{{CitationChú thích|title = Introduction to Financial Technology|first = Roy S.|last = Freedman|publisher = Academic Press|location=Amsterdam|year = 2006|isbn=978-0-12-370478-8|page = 59|url = {{google books |plainurl=y |id=APJ7QeR_XPkC|page=59}}}}</ref>|name=adaa|group=nb}}

Từ thế kỷ 3 TCN, trong cuốn ''[[Người đếm cát]]'', [[Archimedes]] đã quan sát và đưa ra khái niệm rằng "bậc" của một số tương đương với số mũ của lũy thừa cơ số {{math|10⁸ {{=}} 100.000.000}}. Ông cũng nhắc đến quy tắc nhân hai số với nhau bằng cách cộng "bậc" của chúng lại với nhau. Nguyên lý này về sau là một cơ sở dẫn đến sự ra đời khái niệm logarit.<ref>{{cite book|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye|title=A History of Mathematics|author1=Boyer|first=Carl B.|author2=Merzbach|first2=Uta C.|publisher=Wiley|year=1991|isbn=0-471-09763-2|edition=2nd|location=|page=[https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/125 125]|pages=|ref=harv}}</ref> Khoảng 1000 năm sau đó, [[Virasena]], một nhà toán học [[Kỳ Na giáo|Kỳ Na]] người [[Ấn Độ]], tìm ra khái niệm ''ardhacheda'': số lần một số có thể chia hết cho 2. Với lũy thừa của 2, đó chính là giá trị nguyên của logarit cơ số 2, còn đối với các số khác thì giá trị đó không bằng logarit của chúng. Thời điểm đó, ông cũng đã phát hiện và giới thiệu thêm hai khái niệm tương tự là ''trakacheda'' (cơ số 3) và ''caturthacheda'' (cơ số 4).<ref>{{citationChú thích|page=[https://books.google.com/books?id=ymud91nTc9YC&pg=PA352 352]|title=The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics|first=G. G.|last=Joseph|edition=3rd|publisher=Princeton University Press|year=2011|isbn=978-0-691-13526-7}}.</ref><ref>{{citationChú thích|contribution=History of Mathematics in India|title=Students' Britannica India: Select essays|editor1-first=Dale|editor1-last=Hoiberg|editor2-first=Indu|editor2-last=Ramchandani|first=R. C.|last=Gupta|page=329|publisher=Popular Prakashan|year=2000|contribution-url=https://books.google.com/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false|isbn=0-85229-762-9}}</ref> Năm 1544, [[Michael Stifel]] cho xuất bản cuốn ''Arithmetica Integra'' có chứa một bảng số nguyên và lũy thừa của 2 tương ứng,<ref>{{citationChú thích|last=Stifel|first=Michael|author-link=Michael Stifel|language=Latinh|page=31|title=Arithmetica integra|url=https://books.google.com/books?id=fndPsRv08R0C&pg=PA22|year=1544|place=London|publisher=Iohan Petreium}}.</ref> mà khi đảo ngược các hàng lại thì có thể được xem là dạng ban đầu của bảng logarit.<ref>{{CitationChú thích|title=Precalculus mathematics|first1=Vivian Shaw|last1=Groza|first2=Susanne M.|last2=Shelley|publisher=Holt, Rinehart and Winston|location=New York|year=1972|isbn=978-0-03-077670-0|page=182|url=https://books.google.com/books?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182}}.</ref> Đến thế kỷ 16–17, kỹ thuật [[prosthaphaeresis]] (''tạm dịch'': thuật nhân và chia số bằng các công thức lượng giác) xuất hiện và được dùng để chuyển phép nhân thành phép cộng thông qua các [[đẳng thức lượng giác]].<ref>{{cite journal|author=Pierce, R. C., Jr.|date=January 1977|title=A Brief History of Logarithms|journal=The Two-Year College Mathematics Journal|publisher=Mathematical Association of America|volume=8|issue=1|pages=22–26|doi=10.2307/3026878|jstor=3026878}}</ref><ref>{{Harvnb|Boyer|Merzbach|1991|p=307–310}}</ref>

Khái niệm ''logarit'' do [[John Napier]] công bố lần đầu tiên vào năm 1614 trong một cuốn sách có tựa đề là ''Mirifici logarithmorum canonis descriptio''.<ref>{{citationChú thích|first=John|last=Napier|author-link=John Napier|title=Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio|language=Latinh|location=Edinburgh, Scotland|publisher=Andrew Hart|year=1614|url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN527914568?tify=%7B%22pages%22:%5B1%5D%7D}}</ref><ref>{{CitationChú thích|first=Ernest William|last=Hobson|title=John Napier and the invention of logarithms, 1614|year=1914|publisher=The University Press|location=Cambridge|url=https://archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala}}</ref> Nó có liên quan đến các điểm chuyển động thẳng: Napier đã tưởng tượng một điểm thứ nhất ''P'' chuyển động đến điểm cuối của một đoạn thẳng với vận tốc giảm dần, và điểm thứ hai ''L'' chuyển động đều trên một nửa đường thẳng với độ dài vô hạn, sau đó liên hệ khoảng cách giữa ''P'' với điểm cuối của đoạn thẳng và giữa ''L'' với điểm đầu của nửa đường thẳng để nêu ra định nghĩa logarit.<ref>{{Chú thích sách|title=The Historical Development of the Calculus|last=Edwards, Jr.|first=C. H.|publisher=Springer-Verlag|year=1979|isbn=978-0-387-94313-8|location=New York|pages=148|doi=10.1007/978-1-4612-6230-5}}</ref> Phát hiện này được đánh giá cao và nhanh chóng lan rộng sang nhiều quốc gia khác, bao gồm [[Trung Quốc]] và một số nước ở [[châu Âu]] trong những năm sau đó.<ref>{{CitationChú thích|first=Eli|last=Maor|title=E: The Story of a Number|publication-date=2009|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-14134-3|page=11, 14}}</ref> [[Jost Bürgi]] cũng tìm ra logarit một cách độc lập nhưng xuất bản công trình của mình sáu năm sau Napier.<ref>{{Harvnb|Boyer|Merzbach|1991|p=314–315}}</ref> Từ ''logarithmorum'' của Napier trong [[tiếng Latinh]] có nguồn gốc từ [[tiếng Hy Lạp]], chỉ một số biểu thị tỉ số: λόγος (''logos'') có nghĩa là "tỉ số" và ἀριθμός (''arithmos'') có nghĩa là "số".

::"...[một] thủ thuật đáng ngưỡng mộ có thể rút ngắn một công việc từ vài tháng xuống còn vài ngày, từ đó nhân đôi cuộc đời của các nhà thiên văn, và loại bỏ những sai sót cũng như sự chán nản không thể tách rời khỏi những phép tính dài lê thê."<ref>{{CitationChú thích|last1=Bryant|first1=Walter W.|title=A History of Astronomy|url=https://archive.org/stream/ahistoryastrono01bryagoog#page/n72/mode/2up|publisher=Methuen & Co|location=London|year=1907}}, tr.&nbsp;44</ref>

Một công cụ góp phần lớn trong việc ứng dụng logarit vào thực tế là ''[[bảng logarit]]''.<ref>{{CitationChú thích|last1=Campbell-Kelly|first1=Martin|title=The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets|title-link=|publisher=[[Oxford University Press]]|series=Oxford scholarship online|isbn=978-0-19-850841-0|year=2003}}, chương 2</ref> Bảng đầu tiên như vậy do [[Henry Briggs (nhà toán học)|Henry Briggs]] biên soạn năm 1617 ngay sau phát minh của Napier, tiếp đó là các bảng số với phạm vi và độ chính xác lớn hơn. Các bảng số này liệt kê các giá trị của {{math|log_''b''''x''}} và {{math|{{mvar|b}}^''x''}} với mỗi số {{mvar|x}} nằm trong một giới hạn nhất định, với độ chính xác nhất định theo một cơ số {{mvar|b}} nhất định (thường là cơ số 10). Chẳng hạn, bảng đầu tiên của Briggs chứa [[Logarit thông thường|logarit thập phân]] của tất cả các số nguyên từ 1 đến 1000 chính xác đến 14 chữ số thập phân. Vì hàm {{math|''f''(''x'') {{=}} {{mvar|b}}^''x''}} là hàm ngược của {{math|log_''b''&nbsp;''x''}} nên nó còn được gọi là antilogarit.<ref>{{CitationChú thích|editor1-last=Abramowitz|editor1-first=Milton|editor1-link=|editor2-last=Stegun|editor2-first=Irene A.|editor2-link=|title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables|publisher=[[Dover Publications]]|location=New York|isbn=978-0-486-61272-0|edition=10th|year=1972|title-link=}}, mục 4.7., tr.&nbsp;89</ref> Tích và thương của hai số dương {{Mvar|c}} và ''{{Mvar|d}}'' thường được tính bằng tổng và hiệu các logarit của chúng. Tích ''{{Mvar|cd}}'' hoặc thương {{Mvar|c/d}} có được bằng cách tra cứu antilogarit của tổng và hiệu đó thông qua bảng logarit đó:

Nhiều bảng số còn liệt kê các giá trị logarit bằng cách cho biết phần đặc số và phần định trị của {{mvar|x}}, nghĩa là [[phần nguyên]] và [[phần thập phân]] của {{math|log₁₀&nbsp;''x''}}.<ref>{{CitationChú thích|last1=Spiegel|first1=Murray R.|last2=Moyer|first2=R.E.|title=Schaum's outline of college algebra|publisher=[[McGraw-Hill]]|location=New York|series=Schaum's outline series|isbn=978-0-07-145227-4|year=2006|page=264}}</ref> Đặc số của {{math|10 · {{mvar|x}}}} là 1 cộng cho đặc số của {{mvar|x}}, và phần định trị của chúng là giống nhau. Tính chất này làm mở rộng phạm vi của bảng logarit: với một bảng liệt kê các giá trị của {{math|log₁₀&nbsp;''x''}} với mọi số nguyên {{mvar|x}} từ 1 đến 1000, logarit cơ số 10 của 3542 được tính gần đúng bằng

có một nghiệm {{mvar|x}} duy nhất với {{mvar|y}} và {{mvar|b}} là số dương và {{mvar|b}} khác 1. Để chứng minh điều này, ta cần đến [[Định lý Bolzano|định lý giá trị trung gian]] trong [[Giải tích toán học|giải tích]] sơ cấp.<ref name="LangIII.3">{{CitationChú thích|last1=Lang|first1=Serge|title=Undergraduate analysis|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|edition=2nd|series=Undergraduate Texts in Mathematics|isbn=978-0-387-94841-6|mr=1476913|year=1997|doi=10.1007/978-1-4757-2698-5}}, chuơng III.3</ref> Theo định lý, một [[Hàm liên tục|hàm số liên tục]] cho hai giá trị ''{{mvar|m}}'' và ''{{mvar|n}}'' cũng cho bất kỳ giá trị nào nằm giữa ''{{mvar|m}}'' và ''{{mvar|n}}''. Hàm số liên tục là hàm mà đồ thị của nó có thể được vẽ trên mặt phẳng tọa độ mà không cần nhấc bút lên.

cho thấy khi lấy logarit rồi lũy thừa, ta lại có được {{mvar|y}}. Như vậy, khi đồng thời thực hiện phép lũy thừa và logarit trong cùng một số, ta có được số ban đầu. Vì vậy, logarit cơ số {{mvar|b}} là [[hàm ngược|''hàm ngược'']] của {{math|''f''(''x'') {{=}} {{mvar|b}}^''x''}}.<ref>{{CitationChú thích|last1=Stewart|first1=James|title=Single Variable Calculus: Early Transcendentals|publisher=Thomson Brooks/Cole|location=Belmont|isbn=978-0-495-01169-9|year=2007}}, mục 1.6</ref>

Tỉ số ở vế phải được gọi là [[đạo hàm logarit]] của {{math|''f''(''x'')}}. Việc tính {{math|''f<nowiki>'</nowiki>''(''x'')}} bằng đạo hàm của {{math|ln(''f''(''x''))}} được gọi là [[vi phân logarit]].<ref>{{CitationChú thích|last1=Kline|first1=Morris|title=Calculus: an intuitive and physical approach|publisher=[[Dover Publications]]|location=New York|series=Dover books on mathematics|isbn=978-0-486-40453-0|year=1998}}, tr.&nbsp;386</ref> Nguyên hàm của hàm [[logarit tự nhiên]] {{math|ln(''x'')}} là:<ref>{{cite web|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate(ln(x))|title=Calculation of ''Integrate(ln(x))''|tác giả=|họ=|tên=|ngày=|work=Wolfram Alpha|publisher=Wolfram Research|url lưu trữ=|ngày lưu trữ=|url hỏng=|accessdate=18 June 2020}}</ref>

Nói cách khác, {{math|ln(''t'')}} là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị của hàm số {{math|1/''x''}}, từ {{math|1=''x'' = 1}} đến {{math|1=''x'' = ''t''}} (hình bên phải). Đó là hệ quả từ việc áp dụng [[định lý cơ bản của giải tích]] và việc đạo hàm của {{math|ln(''x'')}} là {{math|1/''x''}}. Vế phải của phương trình trên có thể được xem là khái niệm về [[logarit tự nhiên]]. Các công thức mũ và tích logarit đều có thể được suy ra từ khái niệm này.<ref>{{CitationChú thích|last1=Courant|first1=Richard|title=Differential and integral calculus. Vol. I|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|series=Wiley Classics Library|isbn=978-0-471-60842-4|mr=1009558|year=1988}}, chuơng III.6</ref> Chẳng hạn, ta có công thức tích {{math|1=ln(''tu'') = ln(''t'') + ln(''u'')}} vì

[[Giới hạn của một dãy|hội tụ]] về một số được gọi là [[hằng số Euler–Mascheroni]] {{math|1=''γ'' = 0,5772...}}. Mối liên hệ này có vai trò trong việc phân tích hoạt động của các thuật toán, chẳng hạn như [[sắp xếp nhanh]].<ref>{{CitationChú thích|last1=Havil|first1=Julian|title=Gamma: Exploring Euler's Constant|publisher=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-09983-5|year=2003}}, mục 11.5 và 13.8</ref>

[[Số thực]] không phải là [[số đại số]] được gọi là [[số siêu việt]].<ref>{{citationChú thích|title=Selected papers on number theory and algebraic geometry|volume=172|first1=Katsumi|last1=Nomizu|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore|year=1996|isbn=978-0-8218-0445-2|page=21|url={{google books |plainurl=y |id=uDDxdu0lrWAC|page=21}}}}</ref> [[Pi|{{Pi}}]] và ''[[E (số)|e]]'' là hai số như vậy, còn <math>\sqrt{2-\sqrt 3}</math> không phải là số siêu việt. Hầu hết số thực đều là số siêu việt. Logarit là một ví dụ về một [[hàm số siêu việt]]. [[Định lý Gelfond–Schneider]] khẳng định rằng logarit thường cho các giá trị siêu việt.<ref>{{CitationChú thích|last1=Baker|first1=Alan|title=Transcendental number theory|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-20461-3|year=1975}}, tr.&nbsp;10</ref>

Người ta có thể dễ dàng tính được logarit trong một số trường hợp, chẳng hạn như {{math|1=log₁₀(1000) = 3}}. Tổng quát, logarit có thể được tính bằng [[chuỗi lũy thừa]] hoặc [[trung bình hình học–đại số]], hoặc tra cứu trong [[bảng số logarit]] tính sẵn với độ chính xác nhất định.<ref>{{CitationChú thích|last1=Muller|first1=Jean-Michel|title=Elementary functions|publisher=Birkhäuser Boston|location=Boston, MA|edition=2nd|isbn=978-0-8176-4372-0|year=2006}}, chương 4.2.2 (tr. 72) và 5.5.2 (tr. 95)</ref><ref>{{CitationChú thích|last1=Hart|last2=Cheney|last3=Lawson|year=1968|publisher=John Wiley|location=New York|title=Computer Approximations|series=SIAM Series in Applied Mathematics|display-authors=etal|isbn=978-0471356301}}, mục 6.3, tr.&nbsp;105–111</ref> [[Phương pháp Newton]], một phương pháp lặp đi lặp lại để tìm nghiệm gần đúng của một phương trình, cũng có thể được sử dụng để tính logarit, vì hàm ngược của nó (hàm mũ) có thể được tính một cách hiệu quả.<ref>{{CitationChú thích|last1=Zhang|first1=M.|last2=Delgado-Frias|first2=J.G.|last3=Vassiliadis|first3=S.|title=Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation|doi=10.1049/ip-cdt:19941268|journal=IEE Proceedings - Computers and Digital Techniques|issn=1350-2387|volume=141|year=1994|issue=5|pages=281–92}}, mục 1</ref> Thông qua bảng số, các phương pháp tương tự như [[CORDIC]] có thể được dùng để tính logarit chỉ qua phép cộng và [[phép dịch số học]].<ref>{{CitationChú thích|url=https://pdfs.semanticscholar.org/b374/1168ba25f23b694cf8f9c80fb4f2aabce513.pdf?_ga=2.106648832.2051911292.1584786288-346624404.1578817780|archive-url=http://web.archive.org/web/20201007033509/https://pdfs.semanticscholar.org/b374/1168ba25f23b694cf8f9c80fb4f2aabce513.pdf?_ga=2.106648832.2051911292.1584786288-346624404.1578817780|archive-date=2020-10-07|first=J.E.|last=Meggitt|title=Pseudo Division and Pseudo Multiplication Processes|journal=IBM Journal of Research and Development|date=April 1962|doi=10.1147/rd.62.0210|volume=6|issue=2|pages=210–26}}</ref><ref>{{Chú thích web|url=http://cims.nyu.edu/~dbindel/class/cs279/logexp.pdf|tựa đề=Pseudo-Division Algorithms for Floating-Point Logarithms and Exponentials|tác giả=|họ=Kahan|tên=William Morton|ngày=2001-05-20|website=|nhà xuất bản=[[Đại học California]]|location=Berkeley, California|url lưu trữ=https://web.archive.org/web/20151225080205/http://cims.nyu.edu/~dbindel/class/cs279/logexp.pdf|ngày lưu trữ=2015-12-25|url hỏng=yes|ngày truy cập=2020-07-18}}</ref> Hơn nữa, [[Logarit nhị phân#Tính gần đúng bằng phép lặp|thuật toán logarit nhị phân]] tính {{math|lb(''x'')}} một cách [[đệ quy]] dựa vào phép bình phương {{mvar|x}} lặp đi lặp lại và áp dụng biểu thức

Phương pháp sử dụng [[trung bình hình học–đại số]] cho phép tính gần đúng [[logarit tự nhiên]] với độ chính xác rất cao. Theo {{harvtxt|Sasaki|Kanda|1982}}, phương pháp này đặc biệt nhanh với độ chính xác khoảng 400 đến 1000 chữ số thập phân, trong khi phương pháp dùng [[chuỗi Taylor]] thường nhanh chóng hơn nếu không đòi hỏi độ chính xác cao. Trong công trình của họ {{math|ln(''x'')}} được ước lượng với sai số {{math|2^−''p''}} theo công thức sau (bởi [[Carl Friedrich Gauß|Carl Friedrich Gauss]]):<ref>{{CitationChú thích|first1=T.|last1=Sasaki|first2=Y.|last2=Kanada|title=Practically fast multiple-precision evaluation of log(x)|journal=Journal of Information Processing|volume=5|issue=4|pages=247–50|year=1982|url=http://ci.nii.ac.jp/naid/110002673332|accessdate=18 June 2020}}</ref><ref>{{CitationChú thích|first1=Timm|title=Stacs 99|last1=Ahrendt|publisher=Springer|location=Berlin, New York|series=Lecture notes in computer science|doi=10.1007/3-540-49116-3_28|volume=1564|year=1999|pages=302–12|isbn=978-3-540-65691-3|chapter=Fast Computations of the Exponential Function}}</ref>

Logarit có nhiều ứng dụng cả trong lẫn ngoài toán học. Một vài trong số đó có liên quan đến khái niệm về [[tỷ lệ bất biến|tỉ lệ bất biến]]. Chẳng hạn, mỗi buồng trong vỏ [[ốc anh vũ]] đều gần giống với buồng liền sau, thu nhỏ lại bởi một hằng số tỉ lệ. Đó là một ví dụ về [[xoắn ốc logarit]].<ref>{{Harvnb|Maor|2009|p=135}}</ref> [[Luật Benford]] về tần suất xuất hiện chữ số đầu tiên cũng có thể được giải thích qua tỉ lệ bất biến.<ref>{{CitationChú thích|last1=Frey|first1=Bruce|title=Statistics hacks|publisher=[[O'Reilly Media|O'Reilly]]|location=Sebastopol, CA|series=Hacks Series|url={{google books |plainurl=y |id=HOPyiNb9UqwC|page=275}}|isbn=978-0-596-10164-0|year=2006}}, chương 6, mục 64</ref> Logarit cũng có liên hệ với tính chất [[tự đồng dạng]]. Chẳng hạn, logarit xuất hiện trong việc nghiên cứu các thuật toán giải bài toán bằng cách chia thành nhiều bài toán con tương tự rồi gộp các kết quả của chúng lại với nhau.<ref>{{CitationChú thích|last1=Ricciardi|first1=Luigi M.|title=Lectures in applied mathematics and informatics|url={{google books |plainurl=y |id=Cw4NAQAAIAAJ}}|publisher=Manchester University Press|location=Manchester|isbn=978-0-7190-2671-3|year=1990}}, tr.&nbsp;21, mục 1.3.2</ref> Số chiều của các hình không gian tự đồng dạng, tức là những hình mà mỗi phần của nó đều giống như hình tổng thể, cũng dựa trên logarit. [[Thang đo lôgarit|Thang đo logarit]] rất cần thiết để định lượng mức độ thay đổi tỉ đối của một đại lượng so với mức độ thay đổi tuyệt đối của nó. Hơn nữa, vì hàm số logarit {{math|log(''x'')}} tăng rất chậm khi {{mvar|x}} ngày càng lớn nên thang đo logarit được sử dụng để "nén" lại dữ liệu khoa học quy mô lớn. Logarit cũng xuất hiện trong nhiều phương trình khoa học như [[phương trình tên lửa Tsiolkovsky]], [[phương trình Fenske]] hay [[phương trình Fernst]].

Các đại lượng khoa học thường được biểu diễn theo logarit của các đại lượng khác qua ''thang đo logarit''. Chẳng hạn, [[decibel]] là [[đơn vị đo]] dựa trên các đại lượng liên quan đến logarit. Nó được dựa trên logarit thập phân của [[tỷ lệ|tỉ lệ]] – 10 lần logarit thập phân của một tỉ lệ [[công suất]] hoặc 20 lần logarit thập phân của tỉ lệ [[hiệu điện thế]], và được dùng để định lượng sự hao phí mức điện áp trong truyền tải tín hiệu điện,<ref>{{CitationChú thích|last1=Bakshi|first1=U.A.|title=Telecommunication Engineering|publisher=Technical Publications|location=Pune|isbn=978-81-8431-725-1|year=2009|url={{google books |plainurl=y |id=EV4AF0XJO9wC|page=A5}}}}, mục 5.2</ref> để miêu tả độ lớn của âm trong [[âm học]],<ref>{{CitationChú thích|last1=Maling|first1=George C.|editor1-last=Rossing|editor1-first=Thomas D.|title=Springer handbook of acoustics|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-0-387-30446-5|year=2007|chapter=Noise}}, mục 23.0.2</ref> và khả năng hấp thụ bức xạ ánh sáng trong [[quang học]]. [[Tỉ số tín hiệu trên nhiễu]] mô tả lượng âm không cần thiết so với [[tín hiệu]] cũng được đo bằng decibel.<ref>{{CitationChú thích|last1=Tashev|first1=Ivan Jelev|title=Sound Capture and Processing: Practical Approaches|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|isbn=978-0-470-31983-3|year=2009|url={{google books |plainurl=y |id=plll9smnbOIC|page=48}}|page=98}}</ref> Tương tự, [[tỉ số tín hiệu cực đại trên nhiễu]] thường được sử dụng để đánh giá chất lượng âm thanh và phương pháp [[nén ảnh]] thông qua logarit.<ref>{{CitationChú thích|last1=Chui|first1=C.K.|title=Wavelets: a mathematical tool for signal processing|location=Philadelphia|series=SIAM monographs on mathematical modeling and computation|isbn=978-0-89871-384-8|year=1997|url={{google books |plainurl=y |id=N06Gu433PawC|page=180}}}}</ref>

Độ lớn của một trận [[động đất]] được đo theo logarit thập phân của năng lượng do động đất sinh ra ([[thang độ lớn mô men]] hay [[Độ Richter|thang độ Richter]]). Chẳng hạn, một trận động đất 5,0 độ giải phóng năng lượng gấp 32 lần {{math|(10^1.5)}} và một trận động đất 6,0 độ giải phóng năng lượng gấp 1000 lần {{math|(10³)}} so với một trận động đất 4,0 độ.<ref>{{CitationChú thích|last1=Crauder|first1=Bruce|last2=Evans|first2=Benny|last3=Noell|first3=Alan|title=Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra|publisher=Cengage Learning|location=Boston|edition=4th|isbn=978-0-547-15669-9|year=2008}}, mục 4.4.</ref> [[Cấp sao biểu kiến]] là một thang đo logarit thông dụng khác, dùng để đo độ sáng của các ngôi sao qua logarit.<ref>{{CitationChú thích|last1=Bradt|first1=Hale|title=Astronomy methods: a physical approach to astronomical observations|publisher=[[Cambridge University Press]]|series=Cambridge Planetary Science|isbn=978-0-521-53551-9|year=2004}}, mục 8.3, tr.&nbsp;231</ref> Một ví dụ khác nữa là [[pH]] trong [[hóa học]]; pH là số đối của logarit thập phân của hoạt độ của các ion [[Hiđrôni|hydroni]] ([[ion]] [[hydro]] trong nước).<ref>{{CitationChú thích|author=IUPAC|title=Compendium of Chemical Terminology ("Gold Book")|edition=2nd|editor=A. D. McNaught, A. Wilkinson|publisher=Blackwell Scientific Publications|location=Oxford|year=1997|url=http://goldbook.iupac.org/terms/view/P04524|isbn=978-0-9678550-9-7|doi=10.1351/goldbook|author-link=IUPAC}}</ref> Hoạt độ của các ion hydroni trong nước cất là 10⁻⁷&nbsp;mol·L⁻¹, nên pH của nước cất là 7. Giấm thường có pH là khoảng 3, nghĩa là hoạt độ của các ion hydroni trong giấm là khoảng 10⁻³&nbsp;mol·L⁻¹.

[[Đồ thị bán logarit]] (logarit-tuyến tính) ứng dụng logarit theo cách trực quan: một trục (thường là trục tung) được chia tỉ lệ theo logarit. Chẳng hạn, đồ thị ở bên phải thu nhỏ mức tăng từ 1 triệu lên 1 nghìn tỷ xuống cùng độ dài (trên trục tung) so với mức tăng từ 1 lên 1 triệu. Ở những đồ thị như vậy, các [[hàm mũ]] dạng {{math|1=''f''(''x'') = ''a'' · {{mvar|b}}^''x''}} là đường thẳng với [[Độ dốc|hệ số góc]] bằng với logarit của {{mvar|b}}. [[Đồ thị logarit]] chia tỉ lệ cả hai trục theo logarit, nên hàm mũ dạng {{math|1=''f''(''x'') = ''a'' · {{mvar|x}}^''k''}} là đường thẳng có hệ số góc bằng với số mũ {{Math|''k''}}. Nó được ứng dụng trong việc nghiên cứu các [[quy tắc lũy thừa]].<ref>{{CitationChú thích|last1=Bird|first1=J.O.|title=Newnes engineering mathematics pocket book|publisher=Newnes|location=Oxford|edition=3rd|isbn=978-0-7506-4992-6|year=2001}}, mục 34</ref>

Logarit xuất hiện trong các luật liên quan đến [[Tri giác|tri giác con người]].<ref>{{CitationChú thích|last1=Goldstein|first1=E. Bruce|title=Encyclopedia of Perception|url={{google books |plainurl=y |id=Y4TOEN4f5ZMC}}|publisher=Sage|location=Thousand Oaks, CA|series=Encyclopedia of Perception|isbn=978-1-4129-4081-8|year=2009}}, tr.&nbsp;355–356</ref><ref>{{CitationChú thích|last1=Matthews|first1=Gerald|title=Human performance: cognition, stress, and individual differences|url={{google books |plainurl=y |id=0XrpulSM1HUC}}|publisher=Psychology Press|location=Hove|series=Human Performance: Cognition, Stress, and Individual Differences|isbn=978-0-415-04406-6|year=2000}}, tr.&nbsp;48</ref> [[Định luật Hick]] nhấn mạnh mối liên hệ logarit giữa thời gian mà một người bỏ ra để chọn một phương án và số lựa chọn mà người đó có.<ref>{{CitationChú thích|last1=Welford|first1=A.T.|title=Fundamentals of skill|publisher=Methuen|location=London|isbn=978-0-416-03000-6|oclc=219156|year=1968}}, tr.&nbsp;61</ref> [[Định luật Fitts]] dự đoán rằng thời gian cần để di chuyển nhanh đến một vùng mục tiêu là một hàm logarit của quãng đường đến vùng đó và kích thước của mục tiêu.<ref>{{CitationChú thích|first=Paul M.|last=Fitts|date=June 1954|title=The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement|journal=Journal of Experimental Psychology|volume=47|issue=6|pages=381–91|pmid=13174710|doi=10.1037/h0055392|url=https://pdfs.semanticscholar.org/634c/9fde5f1c411e4487658ac738dcf18d98ea8d.pdf|archive-url=http://web.archive.org/web/20201007033937/https://pdfs.semanticscholar.org/634c/9fde5f1c411e4487658ac738dcf18d98ea8d.pdf|archive-date=2020-10-07}}, in lại trong {{CitationChú thích|journal=Journal of Experimental Psychology: General|volume=121|issue=3|pages=262–69|year=1992|pmid=1402698|url=http://sing.stanford.edu/cs303-sp10/papers/1954-Fitts.pdf|accessdate=19 June 2020|title=The information capacity of the human motor system in controlling the amplitude of movement|first=Paul M.|last=Fitts|doi=10.1037/0096-3445.121.3.262}}</ref> Trong [[tâm vật lý học]], [[định luật Weber–Fechner]] nhắc đến mối liên hệ logarit giữa kích thích và [[giác quan]], chẳng hạn như khối lượng thực tế so với khối lượng cảm giác của một vật mà một người đang cầm.<ref>{{CitationChú thích|last1=Banerjee|first1=J.C.|title=Encyclopaedic dictionary of psychological terms|publisher=M.D. Publications|location=New Delhi|isbn=978-81-85880-28-0|oclc=33860167|year=1994|url={{google books |plainurl=y |id=Pwl5U2q5hfcC|page=306}}|page=304}}</ref> (Tuy nhiên "định luật" này thiếu thực tế so với các mô hình mới hơn, chẳng hạn như [[định luật lũy thừa của Stevens]].<ref>{{CitationChú thích|last1=Nadel|first1=Lynn|title=Encyclopedia of cognitive science|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|isbn=978-0-470-01619-0|year=2005}}, bổ đề ''Psychophysics'' và ''Perception: Overview''</ref>)

Các nghiên cứu về tâm lý học cho thấy những người ít được giáo dục về toán học thường ước lượng các đại lượng theo logarit, tức là họ đặt một số trên một đường thẳng không được đánh dấu dựa trên logarit của nó sao cho 10 gần với 100 như khi 100 gần với 1000. Khi được đào tạo kỹ càng hơn, họ có xu hướng chuyển sang ước lượng tuyến tính (đặt 1000 xa hơn 10 lần) trong một số trường hợp, trong khi logarit được dùng thay thế khi các số cần đặt quá lớn.<ref>{{CitationChú thích|doi=10.1111/1467-9280.02438|last1=Siegler|first1=Robert S.|last2=Opfer|first2=John E.|title=The Development of Numerical Estimation. Evidence for Multiple Representations of Numerical Quantity|volume=14|issue=3|pages=237–43|year=2003|journal=Psychological Science|url=http://www.psy.cmu.edu/~siegler/sieglerbooth-cd04.pdf|pmid=12741747|access-date=19 June 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20110517002232/http://www.psy.cmu.edu/~siegler/sieglerbooth-cd04.pdf|archive-date=17 May 2011}}</ref><ref>{{CitationChú thích|last1=Dehaene|issue=5880|postscript=<!--None-->|journal=Science|year=2008|pmid=18511690|pmc=2610411|doi=10.1126/science.1156540|pages=1217–20|volume=320|first1=Stanislas|title=Log or Linear? Distinct Intuitions of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Cultures|first4=Pierre|last4=Pica|first3=Elizabeth|last3=Spelke|first2=Véronique|last2=Izard|bibcode=2008Sci...320.1217D}}</ref>

Logarit được ứng dụng trong [[lý thuyết xác suất]]: [[luật số lớn]] cho rằng, với một đồng tiền hai mặt, khi số lần tung tiến đến vô hạn, tỉ lệ xuất hiện mặt ngửa [[Phân phối nhị thức|tiệm cận về một nửa]]. Sự biến động của tỉ lệ này được giải thích qua [[luật về logarit lặp]].<ref>{{CitationChú thích|last1=Breiman|first1=Leo|title=Probability|publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics|location=Philadelphia|series=Classics in applied mathematics|isbn=978-0-89871-296-4|year=1992}}, mục 12.9</ref>

Logarit cũng xuất hiện trong [[phân phối loga chuẩn]]. Khi logarit của một [[biến ngẫu nhiên]] có một [[phân phối chuẩn]], biến đó được gọi là có một phân phối loga chuẩn.<ref>{{CitationChú thích|last1=Aitchison|first1=J.|last2=Brown|first2=J.A.C.|title=The lognormal distribution|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-04011-2|oclc=301100935|year=1969}}</ref> Phân phối loga chuẩn thường gặp trong nhiều lĩnh vực khi một biến là tích của nhiều biến dương độc lập ngẫu nhiên, chẳng hạn như trong nghiên cứu sự nhiễu loạn.<ref>{{CitationChú thích|title=An introduction to turbulent flow|first=Jean|last=Mathieu|first2=Julian|last2=Scott|publisher=Cambridge University Press|year=2000|isbn=978-0-521-77538-0|page=50|url={{google books |plainurl=y |id=nVA53NEAx64C|page=50}}}}</ref>

Logarit được dùng trong phép [[hợp lý cực đại]] của các [[mô hình thống kê]] tham số. Với một mô hình như vậy, [[hàm hợp lý|hàm khả năng]] phụ thuộc vào ít nhất một [[Mô hình tham số|tham số]] cần được lấy gần đúng. Giá trị lớn nhất của hàm khả năng xảy ra tại cùng giá trị tham số với giá trị lớn nhất của logarit của khả năng đó ("hợp lý logarit"), vì logarit là hàm số tăng. Giá trị lớn nhất của hợp lý logarit là dễ tìm hơn đặc biệt với các khả năng được nhân cho biến [[Độc lập thống kê|độc lập]] ngẫu nhiên.<ref>{{CitationChú thích|last1=Rose|first1=Colin|last2=Smith|first2=Murray D.|title=Mathematical statistics with Mathematica|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Springer texts in statistics|isbn=978-0-387-95234-5|year=2002}}, mục 11.3</ref>

[[Luật Benford]] mô tả sự xuất hiện của các chữ số trong nhiều [[bộ dữ liệu]], chẳng hạn như chiều cao của các tòa nhà. Theo luật này thì xác suất để chữ số đầu tiên của một dữ liệu trong bộ dữ liệu đó là {{Math|''d''}} (từ 1 đến 9) bằng {{math|log₁₀(''d'' + 1) − log₁₀(''d'')}} ''bất kể'' đơn vị đo.<ref>{{CitationChú thích|last1=Tabachnikov|first1=Serge|title=Geometry and Billiards|publisher=[[American Mathematical Society]]|location=Providence, RI|isbn=978-0-8218-3919-5|year=2005|pages=36–40}}, mục 2.1</ref> Vì vậy, khoảng 30% dữ liệu có thể bắt đầu bằng chữ số 1, khoảng 18% bắt đầu bằng chữ số 2,... Các kiểm toán viên thường đối chiếu dữ liệu với luật Benford để phát hiện các hành vi gian lận trong kế toán.<ref>{{Cite journal|last=Durtschi|first=Cindy|last2=Hillison|first2=William|last3=Pacini|first3=Carl|date=|year=2004|title=The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data|url=http://faculty.usfsp.edu/gkearns/Articles_Fraud/Benford%20Analysis%20Article.pdf|journal=Journal of Forensic Accounting|volume=V|pages=17–34|archive-url=https://web.archive.org/web/20170829062510/http://faculty.usfsp.edu/gkearns/Articles_Fraud/Benford%20Analysis%20Article.pdf|archive-date=29 August 2017|access-date=19 June 2020|via=}}</ref>

[[Phân tích thuật toán]] là một nhánh của [[khoa học máy tính]] nghiên cứu về hoạt động của [[thuật toán]] (chương trình máy tính dùng để giải quyết một vấn đề nhất định).<ref name="Wegener">{{CitationChú thích|last1=Wegener|first1=Ingo|title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005}}, tr. 1–2</ref> Logarit có vai trò trong việc mô tả các thuật toán [[Thuật toán chia để trị|chia nhỏ một vấn đề]] thành nhiều vấn đề con rồi hợp các kết quả lại với nhau.<ref>{{CitationChú thích|last1=Harel|first1=David|last2=Feldman|first2=Yishai A.|title=Algorithmics: the spirit of computing|location=New York|publisher=[[Addison-Wesley]]|isbn=978-0-321-11784-7|year=2004}}, tr.&nbsp;143</ref>

Chẳng hạn, để tìm một số trong một mảng đã sắp xếp, thuật toán [[tìm kiếm nhị phân]] sẽ kiểm tra phần tử đứng giữa mảng và tiếp đến kiểm tra nửa khoảng nằm trước hoặc nằm sau phần tử đứng giữa nếu không tìm thấy số đó. Thuật toán này cần trung bình {{math|log₂(''N'')}} bước so sánh với {{math|''N''}} là số phần tử của mảng.<ref>{{citationChú thích|last=Knuth|first=Donald|authorlink=Donald Knuth|title=The Art of Computer Programming|publisher=Addison-Wesley|location=Reading, MA|year=1998|isbn=978-0-201-89685-5|title-link=The Art of Computer Programming}}, mục 6.2.1, tr. 409–426</ref> Tương tự, thuật toán [[sắp xếp trộn]] sắp xếp một mảng bằng cách chia đôi thành hai mảng con và sắp xếp chúng trước khi gộp lại các kết quả. Thuật toán sắp xếp trộn thường tốn một khoảng thời gian [[Kí hiệu O lớn|xấp xỉ tỉ lệ thuận với]] {{math|''N'' · log(''N'')}}.<ref>{{Harvnb|Knuth|1998|loc=mục 5.2.4|p=158–168}}</ref> Cơ số của logarit không được nhắc đến cụ thể, vì kết quả chỉ thay đổi theo một hằng số nhất định khi dùng cơ số khác. Người ta không quan tâm đến hằng số đó khi phân tích thuật toán dưới [[Phân tích thuật toán|mô hình chi phí thống nhất]] tiêu chuẩn.<ref name="Wegener20">{{CitationChú thích|last1=Wegener|first1=Ingo|title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005|page=20}}</ref>

Một hàm số {{math|''f''(''x'')}} được gọi là [[hàm số tăng logarit]] nếu {{math|''f''(''x'')}} tỉ lệ thuận với logarit của {{mvar|x}}. (Tuy nhiên, một số tài liệu sinh học sử dụng thuật ngữ này đối với hàm mũ khi viết về sự sinh trưởng của sinh vật.<ref>{{CitationChú thích|last1=Mohr|first1=Hans|last2=Schopfer|first2=Peter|title=Plant physiology|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-58016-4|year=1995|url=https://archive.org/details/plantphysiology0000mohr}}, chương 19, tr.&nbsp;298</ref>) Chẳng hạn, mọi [[số tự nhiên]] {{math|''N''}} đều có thể được biểu diễn dưới [[Hệ nhị phân|dạng nhị phân]] sử dụng không quá {{math|log₂(''N'') + 1}} [[bit]]. Nói cách khác, lượng [[Lưu trữ dữ liệu máy tính|bộ nhớ]] cần dùng để lưu trữ {{math|''N''}} tăng theo logarit của {{math|''N''}}.

Tổng này được lấy trên tất cả các trạng thái {{math|''i''}} của hệ được xét, chẳng hạn như vị trí của các phân tử khí trong bình chứa, trong đó {{math|''p''_''i''}} là xác suất để hệ nằm ở trạng thái {{math|''i''}} và {{Math|''k''}} là [[hằng số Boltzmann]]. Tương tự, [[entropy thông tin]] mô tả mức độ hỗn loạn của thông tin. Nếu người nhận một thông điệp kỳ vọng nhận được bất kỳ trong số {{math|''N''}} thông điệp có thể với khả năng giống nhau thì lượng thông tin truyền tải bởi một thông điệp như vậy được định lượng là {{math|log₂(''N'')}} bit.<ref>{{CitationChú thích|last1=Eco|first1=Umberto|author1-link=Umberto Eco|title=The open work|publisher=Harvard University Press|isbn=978-0-674-63976-8|year=1989}}, mục III.I</ref>

[[Lũy thừa Lyapunov]] sử dụng logarit để đo mức độ hỗn loạn của một [[hệ thống động lực]]. Chẳng hạn, khi một chất điểm di chuyển trên một [[bàn bida]], chỉ một thay đổi rất nhỏ về góc cũng có thể làm thay đổi hoàn toàn hướng đi của chất điểm đó. Hệ thống như vậy [[Lý thuyết hỗn loạn|hỗn loạn]] một cách [[Hệ thống tất định|tất định]], vì những sai sót nhỏ ở điều kiện ban đầu thường dẫn đến những kết quả khác hẳn nhau.<ref>{{CitationChú thích|last1=Sprott|first1=Julien Clinton|title=Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows|journal=Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows. Edited by Sprott Julien Clinton. Published by World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd|url={{google books |plainurl=y |id=buILBDre9S4C}}|publisher=World Scientific|location=New Jersey|isbn=978-981-283-881-0|year=2010|bibcode=2010ecas.book.....S|doi=10.1142/7183}}, mục 1.9</ref> Ít nhất một lũy thừa Lyapunov của một hệ hỗn loạn tất định có giá trị dương.

Logarit xuất hiện trong định nghĩa về số chiều [[phân dạng]].<ref>{{CitationChú thích|last1=Helmberg|first1=Gilbert|title=Getting acquainted with fractals|publisher=Walter de Gruyter|series=De Gruyter Textbook|location=Berlin, New York|isbn=978-3-11-019092-2|year=2007}}</ref> Phân dạng là một đối tượng hình học có cấu trúc [[tự đồng dạng]]: mỗi hình nhỏ hơn đều trông giống như hình tổng thể. [[Tam giác Sierpinski]] (hình bên) được tạo ra từ ba bản sao của chính nó, mỗi hình có cạnh bằng một nửa hình ban đầu. Theo đó, [[số chiều Hausdorff]] của cấu trúc này là {{math|ln(3)/ln(2) ≈ 1,58}}. Một khái niệm khác về số chiều dựa trên logarit được suy ra bởi việc [[Số chiều Minkowski–Bouligand|đếm số hình vuông đơn vị]] để bao phủ hết bề mặt phân dạng được xét.

Do đó, logarit có thể được dùng để miêu tả các quãng: một quãng được đo theo đơn vị nửa cung bằng cách lấy logarit cơ số {{math|2^1/12}} của tỉ lệ [[tần số]], trong khi logarit cơ số {{math|2^1/1200}} của nó đo quãng đó theo [[Cent (âm nhạc)|cent]], bằng một phần trăm so với nửa cung.<ref>{{CitationChú thích|last1=Wright|first1=David|title=Mathematics and music|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore|isbn=978-0-8218-4873-9|year=2009}}, chương 5</ref>

||[[Hệ thống 72 âm tự nhiên|Tông 1/12]] {{audioÂm thanh|1_step_in_72-et_on_C.mid|phát}}

||[[Nửa cung]] {{audioÂm thanh|help=no|Minor_second_on_C.mid|phát}}

||Quãng 5/4 {{audioÂm thanh|help=no|Just_major_third_on_C.mid|phát}}

||[[Quãng 3 trưởng]] {{audioÂm thanh|help=no|Major_third_on_C.mid|phát}}

||[[Quãng 3 cung]] {{audioÂm thanh|help=no|Tritone_on_C.mid|phát}}

||[[Quãng tám]] {{audioÂm thanh|help=no|Perfect_octave_on_C.mid|phát}}

trong đó "gần đúng" ở đây có nghĩa là tỉ số giữa {{math|{{pi}}(''x'')}} và {{math|''x''/ln(''x'')}} tiệm cận về 1 khi {{mvar|x}} tiến dần ra vô hạn.<ref>{{CitationChú thích|last1=Bateman|first1=P.T.|last2=Diamond|first2=Harold G.|title=Analytic number theory: an introductory course|publisher=World Scientific|location=New Jersey|isbn=978-981-256-080-3|oclc=492669517|year=2004}}, định lý 4.1</ref> Nói cách khác, xác suất để một số được chọn ngẫu nhiên nằm giữa 1 và {{mvar|x}} là số nguyên tố [[tỉ lệ nghịch]] với số chữ số của {{mvar|x}}. Một xấp xỉ chính xác hơn nữa của {{math|{{pi}}(''x'')}} được cho bởi [[hàm tích phân logarit bù]] {{math|Li(''x'')}}, được định nghĩa là

Biểu thức này được dùng để suy ra phép [[xấp xỉ Stirling]], một phép tính gần đúng {{math|''n''!}} với {{math|''n''}} lớn.<ref>{{CitationChú thích|last1=Slomson|first1=Alan B.|title=An introduction to combinatorics|publisher=CRC Press|location=London|isbn=978-0-412-35370-3|year=1991}}, chương 4</ref>

với {{mvar|k}} là số nguyên. Rõ ràng argumen của {{mvar|z}} không phải là duy nhất: cả {{mvar|φ}} và {{mvar|φ}}' = {{mvar|φ}} + 2''k''{{pi}} đều là argumen của {{mvar|z}} với mọi số nguyên {{mvar|k}}, vì thêm 2''k''{{pi}} [[radian]] hoặc ''k''⋅360° vào {{mvar|φ}} tức là "quay" góc {{mvar|φ}} quanh gốc tọa độ {{mvar|k}} vòng.{{refn|Xem bài [[radian]] về phép chuyển đổi giữa 2[[pi|{{pi}}]] radian và 360 [[độ (góc)|độ]].|group=nb}} Số phức cuối cùng luôn là {{mvar|z}}, như được minh họa trong hình bên phải với {{math|''k'' {{=}} 1}}. Ta có thể chọn đúng một trong số các argumen của {{mvar|z}} làm ''argumen chính'', ký hiệu là {{math|Arg(''z'')}} với chữ cái {{math|A}} in hoa, bằng cách giới hạn {{mvar|φ}} xuống một vòng quay nhất định, chẳng hạn như <math>-\pi < \varphi \le \pi</math><ref>{{CitationChú thích|last1=Ganguly|location=Kolkata|first1=S.|title=Elements of Complex Analysis|publisher=Academic Publishers|isbn=978-81-87504-86-3|year=2005}}, Định nghĩa 1.6.3</ref> hoặc <math>0 \le \varphi < 2\pi.</math><ref>{{CitationChú thích|last1=Nevanlinna|first1=Rolf Herman|author1-link=Rolf Nevanlinna|last2=Paatero|first2=Veikko|title=Introduction to complex analysis|journal=London: Hilger|location=Providence, RI|publisher=AMS Bookstore|isbn=978-0-8218-4399-4|year=2007|bibcode=1974aitc.book.....W}}, mục 5.9</ref> Các nửa khoảng này được gọi là [[''nhánh chính'']] của hàm argumen.

Áp dụng công thức trên và tính chất tuần hoàn, ta có:<ref>{{CitationChú thích|last1=Moore|first1=Theral Orvis|last2=Hadlock|first2=Edwin H.|title=Complex analysis|publisher=World Scientific|location=Singapore|isbn=978-981-02-0246-0|year=1991}}, mục 1.2</ref>

Đặt {{mvar|k}} sao cho <math>\varphi + 2 k \pi</math> nằm trong các nửa khoảng được xác định như trên thì {{math|''a''_''k''}} được gọi là ''giá trị chính'' của logarit phức, ký hiệu là {{math|Log(''z'')}} với chữ cái {{math|L}} in hoa. Argumen chính của mọi số thực dương {{mvar|x}} bằng 0; do đó {{math|Log(''x'')}} là một số thực bằng với logarit tự nhiên thực. Tuy vậy, các công thức về logarit của một tích hay lũy thừa ''không'' áp dụng được cho giá trị chính của logarit phức.<ref>{{CitationChú thích|last1=Wilde|first1=Ivan Francis|title=Lecture notes on complex analysis|publisher=Imperial College Press|location=London|isbn=978-1-86094-642-4|year=2006|url=https://books.google.com/?id=vrWES2W6vG0C&pg=PA97&dq=complex+logarithm#v=onepage&q=complex%20logarithm&f=false}}, định lý 6.1.</ref>

Lũy thừa xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của toán học và hàm ngược của nó thường được gọi là logarit. Chẳng hạn, [[logarit của một ma trận]] là hàm ngược (đa trị) của [[hàm mũ ma trận]].<ref>{{CitationChú thích|last1=Higham|first1=Nicholas|title=Functions of Matrices. Theory and Computation|location=Philadelphia, PA|publisher=SIAM|isbn=978-0-89871-646-7|year=2008}}, chương 11.</ref> Một ví dụ khác là hàm [[Logarit p-adic|logarit ''p''-adic]], hàm ngược của [[Hàm mũ p-adic|hàm mũ ''p''-adic]]. Cả hai đều được xác định qua chuỗi Taylor tương tự như với số thực. Khác với số thực, logarit ''p''-adic còn có thể được mở rộng cho mọi [[Số p-adic|số ''p''-adic]] khác 0.<ref>{{CitationChú thích|first1=Jürgen|last1=Neukirch|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin|series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|volume=322|year=1999|isbn=978-3-540-65399-8|title=Algebraic Number Theory}}, mục II.5.</ref> Trong [[hình học vi phân]], [[Ánh xạ mũ (hình học Riemann)|ánh xạ mũ]] ánh xạ [[không gian tiếp tuyến]] tại một điểm của một [[đa tạp]] đến một [[Lân cận (toán học)|lân cận]] của điểm đó, và ánh xạ ngược lại với nó được gọi là ánh xạ logarit.<ref>{{CitationChú thích|last1=Hancock|first1=Edwin R.|last2=Martin|first2=Ralph R.|last3=Sabin|first3=Malcolm A.|title= Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7–9, 2009 Proceedings|publisher=Springer|isbn=978-3-642-03595-1|year=2009|page=379|url=https://books.google.com/books?id=0cqCy9x7V_QC&pg=PA379}}</ref>

với {{mvar|x}} là một phần tử trong nhóm. Phép lũy thừa rời rạc có thể dễ dàng thực hiện được, nhưng logarit rời rạc được cho là khó tính được trong một số nhóm. Tính bất đối xứng này có những ứng dụng quan trọng trong [[mật mã hóa khóa công khai]], chẳng hạn như trong [[Trao đổi khóa Diffie-Hellman|trao đổi khóa Diffie–Hellman]], một phương pháp cho phép trao đổi khóa [[Mật mã học|mật mã]] một cách bảo mật trên các kênh thông tin không an toàn.<ref>{{CitationChú thích|last1=Stinson|first1=Douglas Robert|title=Cryptography: Theory and Practice|publisher=CRC Press|location=London|edition=3rd|isbn=978-1-58488-508-5|year=2006}}</ref> [[Logarit Zech]] có liên hệ với logarit rời rạc đối với nhóm nhân của các phần tử khác không trong một [[trường hữu hạn]].<ref>{{CitationChú thích|last1=Lidl|first1=Rudolf|last2=Niederreiter|first2=Harald|title=Finite fields|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-39231-0|year=1997|url=https://archive.org/details/finitefields0000lidl_a8r3}}</ref>

Các hàm ngược khác liên quan đến logarit bao gòm ''logarit nhân đôi'' {{math|ln(ln(''x''))}}, ''[[siêu logarit]]'' (có dạng gần giống với [[logarit lặp]] trong khoa học máy tính), [[hàm Lambert W]] và [[logit]]. Chúng lần lượt là hàm ngược của [[hàm lũy thừa nhân đôi]], [[túc thừa]], {{math|''f''(''w'') {{=}} ''we^w''}},<ref>{{CitationChú thích|last1=Corless|url=http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20101214110615/http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf|access-date=20 June 2020|doi=10.1007/BF02124750|pages=329–59|volume=5|issn=1019-7168|journal=Advances in Computational Mathematics|year=1996|title=On the Lambert ''W'' function|first1=R.|author5-link=Donald Knuth|first5=Donald|last5=Knuth|first4=D.|last4=Jeffrey|first3=D.|last3=Hare|first2=G.|last2=Gonnet|archive-date=14 December 2010}}</ref> và [[hàm logistic]].<ref>{{CitationChú thích|last1=Cherkassky|first1=Vladimir|last2=Cherkassky|first2=Vladimir S.|last3=Mulier|first3=Filip|title=Learning from data: concepts, theory, and methods|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|series=Wiley series on adaptive and learning systems for signal processing, communications, and control|isbn=978-0-471-68182-3|year=2007}}, tr.&nbsp;357</ref>

Trong [[lý thuyết nhóm]], đồng nhất thức {{math|log(''cd'') {{=}} log(''c'') + log(''d'')}} biểu thị một [[đẳng cấu nhóm]] giữa các [[số thực]] dưới phép nhân và các số thực dưới phép cộng. Hàm logarit là đẳng cấu liên tục duy nhất giữa các nhóm này.<ref>{{CitationChú thích|last1=Bourbaki|first1=Nicolas|title=General topology. Chapters 5–10|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Elements of Mathematics|isbn=978-3-540-64563-4|mr=1726872|year=1998}}, mục V.4.1</ref> Bằng đẳng cấu đó, [[độ đo Haar]] ([[độ đo Lebesgue]]) {{math|''dx''}} trên các số thực tương ứng với độ đo Haar {{math|''dx''/''x''}} trên các số thực dương.<ref>{{CitationChú thích|last1=Ambartzumian|first1=R.V.|title=Factorization calculus and geometric probability|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-34535-4|year=1990|url=https://archive.org/details/factorizationcal0000amba}}, mục 1.4</ref> Các số thực không âm dưới phép cộng và phép nhân tạo thành một [[bán vành]] được gọi là [[bán vành xác suất]]; sau đó, logarit chuyển phép nhân thành phép cộng (phép nhân log) và chuyển phép cộng thành phép cộng log ([[LogSumExp]]), cho một [[Đẳng cấu|phép đẳng cấu]] giữa bán vành xác suất và bán vành log.<ref>{{Chú thích sách|url=https://archive.org/details/appliedcombinato0000loth/page/210/mode/2up|title=Applied Combinatorics on Words|last=Lothaire|first=M.|publisher=Cambridge University Press|year=2005|isbn=0-521-84802-4|series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications|volume=105|location=Cambridge|pages=211|zbl=1133.68067}}</ref> Trong [[giải tích phức]] và [[hình học đại số]], [[Dạng logarit|1-dạng logarit]] {{math|''df''/''f''}} là một [[dạng vi phân]] với [[Cực điểm (giải tích phức)|cực điểm]] logarit.<ref>{{CitationChú thích|last1=Esnault|first1=Hélène|last2=Viehweg|first2=Eckart|title=Lectures on vanishing theorems|location=Basel, Boston|publisher=Birkhäuser Verlag|series=DMV Seminar|isbn=978-3-7643-2822-1|mr=1193913|year=1992|volume=20|doi=10.1007/978-3-0348-8600-0}}, mục 2</ref>

{{Wiktionary|logarithm}}
{{thể loại Commons}}

*{{CitationChú thích|author=Edward Wright|url=http://www.johnnapier.com/table_of_logarithms_001.htm|title=Translation of Napier's work on logarithms|archiveurl=https://web.archive.org/web/20021203005508/http://www.johnnapier.com/table_of_logarithms_001.htm|archivedate=3 December 2002}}