Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Số nguyên tố”

Năm 1640, [[Pierre de Fermat]] phát biểu [[định lý nhỏ Fermat]] (về sau được [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] và [[Leonhard Euler|Euler]] chứng minh).<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA59|title=How Euler Did It|last=Sandifer|first=C. Edward|publisher=Mathematical Association of America|year=2007|isbn=978-0-88385-563-8|series=MAA Spectrum|location=|page=45|pages=|ref=harv}}</ref> Fermat cũng đã nghiên cứu và kiểm tra tính nguyên tố của [[số Fermat]] <math>2^{2^n}+1</math>,<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=3c6iBQAAQBAJ&pg=PA42|title=How Euler Did Even More|last=Sandifer|first=C. Edward|publisher=Mathematical Association of America|year=2014|isbn=978-0-88385-584-3|page=42}}</ref> và [[Marin Mersenne]] nghiên cứu [[số nguyên tố Mersenne]], số nguyên tố có dạng <math>2^p-1</math> với <math>p</math> cũng là số nguyên tố.<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=-9pg-4Pa19IC&pg=PA369|title=Elementary Number Theory with Applications|last=Koshy|first=Thomas|publisher=Academic Press|year=2002|isbn=978-0-12-421171-1|page=369|ref=harv}}</ref> Trong thư gửi Euler năm 1742, [[Christian Goldbach]] đã phát biểu [[giả thuyết Goldbach]] cho rằng mọi số chẵn đều là tổng của hai số nguyên tố.<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=g4jVCgAAQBAJ&pg=PA21|title=Goldbach Conjecture|last=Yuan|first=Wang|publisher=World Scientific|year=2002|isbn=978-981-4487-52-8|edition=2nd|series=Series In Pure Mathematics|volume=4|page=21}}</ref> Euler chứng minh được giả thuyết của Alhazen (về sau gọi là [[định lý Euclid–Euler]]) rằng mọi số hoàn thiện chẵn có thể được tạo ra từ số nguyên tố Mersenne.<ref name="stillwell-2010-p40" /> Ông cũng giới thiệu các phương pháp được ứng dụng từ [[giải tích toán học]] trong lĩnh vực này khi chứng minh sự tồn tại vô số số nguyên tố và [[tính phân kỳ của tổng nghịch đảo các số nguyên tố]] <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{7}+\tfrac{1}{11}+\cdots</math>.<ref>{{cite book|title=The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood|last=Narkiewicz|first=Wladyslaw|publisher=Springer|year=2000|isbn=978-3-540-66289-1|series=Springer Monographs in Mathematics|page=11|contribution=1.2 Sum of Reciprocals of Primes|contribution-url=https://books.google.com/books?id=VVr3EuiHU0YC&pg=PA11}}</ref> Đầu thế kỷ 19, [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] và [[Carl Friedrich Gauß|Gauss]] đưa ra phỏng đoán rằng khi <math>x</math> tiến về [[Vô tận|vô hạn]] thíthì số lượng số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng <math>x</math> [[Tiệm cận (giải tích)|tiệm cận]] về <math>x/\log x</math> với <math>\log x</math> là [[logarit tự nhiên]] của <math>x</math>. Ý tưởng của [[Bernhard Riemann]] trong [[Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse|công trình năm 1859 về hàm zeta của ông]] đã góp phần vạch ra hướng đi để chứng minh phỏng đoán đó. Mặc dù một phỏng đoán liên quan là [[giả thuyết Riemann]] vẫn chưa có lời giải, đại cương của Riemann đã được hoàn thành vào năm 1896 bởi [[Jacques Hadamard|Hadamard]] và [[Charles Jean de la Vallée Poussin|de la Vallée Poussin]] và kết quả này hiện được biết đến với tên gọi [[định lý số nguyên tố]].<ref>{{cite book|title=Number Theory|last=Apostol|first=Tom M.|publisher=Birkhäuser|year=2000|isbn=|editor1-last=Bambah|editor1-first=R.P.|series=Trends in Mathematics|location=Basel|pages=1–14|contribution=A centennial history of the prime number theorem|mr=1764793|editor2-last=Dumir|editor2-first=V.C.|editor3-last=Hans-Gill|editor3-first=R.J.|contribution-url=https://books.google.com/books?id=aiDyBwAAQBAJ&pg=PA1}}</ref> Một thành tựu quan trọng khác trong thế kỷ 19 là [[định lý Dirichlet về cấp số cộng]] cho rằng một cấp số cộng nhất định chứa vô số số nguyên tố.<ref>{{cite book|title=Introduction to Analytic Number Theory|last=Apostol|first=Tom M.|publisher=Springer-Verlag|year=1976|isbn=|location=New York; Heidelberg|pages=146–156|contribution=7. Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetical Progressions|mr=0434929|ref=harv|contribution-url=https://books.google.com/books?id=3yoBCAAAQBAJ&pg=PA146}}</ref>