Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Không gian vectơ”

Trong [[toán học]], '''không gian vectơ''' (hay còn gọi là không gian tuyến tính) là một tập hợp của các đại lượng gọi là vectorvectơ, một đại lượng có thể cộng và nhân bởi một số, được gọi là [[Scalar (toán học)|vô hướng]]. Vô hướng thường được lấy là số thực, nhưng cũng có các không gian vectorvectơ với nhân vô hướng là [[số phức]] hoặc [[số ảo]], hoặc tổng quát hơn là một trường bất kì. Toán tử cộng và nhân vô hướng phải thỏa mãn các điều kiện nhất định gọi là tiên đề, được liệt kê bên dưới. Để phân loại vô hướng là thực hay phức, ta thường dùng thuật ngữ không gian vectorvectơ thực hoặc không gian vectorvectơ phức.

[[Không gian Euclide|Không gian Euclid]] là một ví dụ của không gian vectorvectơ. Chúng đại diện cho các đại lượng vô hướng như là lực: Mọi lực (cùng loại) có thể cộng với nhau để thu được lực thứ 3, và phép nhân vectorvectơ lực với một số thực có thể thu được một vectorvectơ lực. Cùng với đó, nhưng theo một cách hình học hơn, vectorvectơ đại diện cho sự thay thế của mặt phẳng trong mặt phẳng hoặc trong không gian 3 chiều cũng từ không gian vectorvectơ. Vectorvectơ trong không gian vectorvectơ không cần thiết phải có một đại lượng dạng mũi tên như trong ví dụ của nó: vectorvectơ được coi như là một đại lượng toán học với các tính chất cụ thể, đôi khi có thể mô tả một cách trực quan bằng một mũi tên.

Không gian vectorvectơ là một phần trong đại số tuyến tính được quy định bởi [[Chiều (không gian vectơ)|số chiều]] của nó, nói một cách đại khái là số lượng các hướng độc lập trong không gian. Không gian vectorvectơ vô hạn chiều xuất hiện tự nhiên trong toán phân tich, như là một không gian hàm, trong đó vectorvectơ chính là các hàm. Những vectorvectơ này được tổng quát với cấu trúc cộng thêm, được gọi là topology, cho phép xem xét các lỗi của tính địa phương và tính liên tục. topology được định nghĩa bởi norm hoặc tích vô hướng, được hiểu là có kí hiệu khoảng cách giữa các vectorvectơ. Đây là trường hợp cụ thể của không gian Banach và không gian Hilbert, chúng là những khái niệm cơ bản trong toán học phân tích.

Một vectorvectơ được định nghĩa qua trường F là một tập V cùng với 2 toán tử thỏa mãn 8 tiên đề dưới đây. Theo đó, ''V'' × ''V'' kí hiệu cho phép nhân Cartesian của V với chính nó, và → kí hiệu cho một ánh xạ từ một nhóm đến một nhóm khác

* Toán tử đầu tiên, được gọi là phép cộng vectorvectơ hoặc đơn giản là phép cộng +: ''V'' × ''V'' → ''V,'' lấy 2 vectorvectơ bất kì '''v''' và '''w''' và đánh dấu một vectorvectơ thứ 3 được viết là '''v''' + '''w,''' được gọi là tổng của các vectorvectơ.

* Toán tử thứ 2 được gọi là [[phép nhân vô hướng]]: ''F'' × ''V'' → ''V,'' lấy một vô hướng ''a'' bất kì và một vectorvectơ '''v''', cho ta một vectorvectơ khác ''a'''''v'''

ví dụ đơn giản nhất của một không gian vectorvectơ thông qua trường F chính là chính nó, kết hợp với tính chất cộng và nhân của nó. Một cách tổng quát hơn, tất cả chuỗi dài n:

của tất cả các phần tử của F cấu tạo nên một không gian vectorvectơ thường được kí hiệu bởi ''Fⁿ'' được gọi là không gian tọa độ.

Tập hợp các số phức '''C''', chính là, một số có thể viết dưới dạng ''x+iy'' cho mọi số thực x và y trong đó i là đơn vị ảo, cấu thành nên một không gian vectorvectơ thông qua số thực với phép cộng và nhân thông thường