Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Biến đổi tuyến tính”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
nKhông có tóm lược sửa đổi |
Không có tóm lược sửa đổi Thẻ: Trình soạn thảo mã nguồn 2017 |
||
Dòng 1:
Trong [[toán học]], một phép '''biến đổi tuyến tính''' (còn được gọi là '''toán tử tuyến tính''' hoặc là '''[[ánh xạ]] tuyến tính''') là một [[ánh xạ]] <math>V \rightarrow W</math> giữa hai [[Mô đun (toán học)|mô đun]] (cụ thể, ví dụ hai [[không gian vectơ]]) mà bảo toàn được các thao tác cộng và [[Phép nhân vô hướng|nhân vô hướng]] vectơ. Nói một cách khác, nó bảo toàn [[tổ hợp tuyến tính]]. Nếu ánh xạ tuyến tính là một [[song ánh]] thì nó được gọi là '''đẳng cấu tuyến tính'''.
Một trường hợp quan trọng là khi <math>V = W</math>, khi đó ánh xạ tuyến tính được gọi là một [[tự đồng cấu]] (tuyến tính) trong <math>V</math>. Đôi khi thuật ngữ '''toán tử tuyến tính''' chỉ ánh xạ trong trường hợp này,<ref>"Linear transformations of {{mvar|V}} into {{mvar|V}} are often called ''linear operators'' on {{mvar|V}}." {{harvnb|Rudin|1976|page=207}}</ref> nhưng nó có thể mang ý nghĩa khác tùy theo các quy ước: ví dụ, thuật ngữ này có thể được dùng để nhấn mạnh rằng <math>V</math> và <math>W</math> là các không gian vectơ [[Số thực|thực]] (không nhất thiết là <math>V = W</math>),{{citation needed|date=November 2020}} hay để nhấn mạnh rằng <math>V</math> là một [[không gian hàm]] (đây là một quy ước thông thường trong giải tích hàm).<ref>Let {{mvar|V}} and {{mvar|W}} be two real vector spaces. A mapping a from {{mvar|V}} into {{mvar|W}} Is called a 'linear mapping' or 'linear transformation' or 'linear operator' [...] from {{mvar|V}} into {{mvar|W}}, if
<math display="inline">a(u+v)=au+av</math> for all <math display="inline">u,v \in V</math>, <math display="inline"> a(\lambda u) = \lambda au </math> for all <math>u \in V</math> and all real {{mvar|λ}}. {{harvnb|Bronshtein|Semendyayev|2004|page=316}}</ref> Đôi khi thuật ngữ ''hàm tuyến tính'' cũng mang nghĩa là ''ánh xạ tuyến tính'', nhưng không phải trong [[hình học giải tích]].
Một ánh xạ tuyến tính luôn là ánh xạ từ một [[không gian con]] (tuyến tính) vào một [[không gian con]] (có thể với [[Số chiều (đại số tuyến tính)|số chiều]] khác nhau);<ref>{{harvnb|Rudin|1991|page=14}}Here are some properties of linear mappings <math display="inline">\Lambda: X \to Y</math> whose proofs are so easy that we omit them; it is assumed that <math display="inline">A \subset X</math> and <math display="inline">B \subset Y</math>:{{ordered list|<math display="inline">\Lambda 0 = 0.</math>|If {{mvar|A}} is a subspace (or a [[convex set]], or a [[balanced set]]) the same is true of <math display="inline">\Lambda(A)</math>|If {{mvar|B}} is a subspace (or a convex set, or a balanced set) the same is true of <math display="inline">\Lambda^{-1}(B)</math>|In particular, the set:
: <math>\Lambda^{-1}(\{0\}) = \{x \in X: \Lambda x = 0\} = {N}(\Lambda)</math>
is a subspace of {{mvar|X}}, called the ''null space'' of <math display="inline">\Lambda</math>.|list-style-type=lower-alpha}}</ref> ví dụ, ánh xạ từ một [[mặt phẳng]] đi [[gốc tọa độ]] vào một mặt phẳng khác hay vào chính nó, vào một [[đường thẳng]] hay một [[Điểm (hình học)|điểm]]. Ánh xạ tuyến tính có thể được biểu diễn bởi các [[Ma trận (toán học)|ma trận]], các ví dụ đơn giản là các ma trận của các phép biến đổi tuyến tính [[Phép quay|quay]] và [[Phép phản xạ (toán học)|phản xạ]].
Trong ngôn ngữ của [[đại số trừu tượng]], một phép biến đổi tuyến tính là một [[Đồng cấu nhóm|đồng cấu]] giữa các [[Mô đun (toán học)|mô đun]].
Hàng 5 ⟶ 14:
== Định nghĩa và các hệ quả đầu tiên ==
Một cách chính thức, nếu ''<math>V</math>'' và ''<math>W</math>'' là các [[không gian vectơ]] trên cùng một [[trường (đại số)|trường]] ''<math>K</math>'', chúng ta nói rằng ánh xạ <math>\mathbf{f}: V \rightarrow W</math> là một (phép) biến đổi tuyến tính nếu cho bất kỳ hai vectơ
{|
| style="padding:0 20pt" |<math>f(\mathbf{
|[[Ánh xạ cộng tính|tính cộng]] / phép toán cộng
|-
| style="padding:0 20pt" |<math>f(c \mathbf{u}) = c f(\mathbf{u})</math>
|tính [[Hàm thuần nhất|thuần nhất]] bậc 1 / phép toán nhân vô hướng
|}
Điều này có ý nghĩa tương đương với khẳng định '''f''' "bảo toàn tổ hợp tuyến tính", có nghĩa là, cho bất kỳ vector ''x''<sub>1</sub>,..., ''x''<sub>''m''</sub> và các vô hướng ''a''<sub>1</sub>,..., ''a''<sub>''m''</sub>, chúng ta có
:<math>\mathbf{f}(a_1 x_1+\cdots+a_m x_m)=a_1 \mathbf{f}(x_1)+\cdots+a_m \mathbf{f}(x_m).</math>
| |||