Wikipedia

Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Biến đổi tuyến tính”

Duyệt lịch sử tương tác
← Thay đổi trướcThay đổi sau →
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Trực quanMã wiki
Dòng 22:
|tính [[Hàm thuần nhất|thuần nhất]] bậc 1 / phép toán nhân vô hướng
|}
Điều này có ý nghĩa tương đương với khẳng định '''f''' "bảo toàn tổ hợp tuyến tính", có nghĩa là, cho bất kỳ vectơ <math display="inline">\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_n \in V</math> và các vô hướng <math display="inline">c_1, \ldots, c_n \in K,</math>chúng ta có<ref>{{harvnb|Rudin|1991|page=14}}. Suppose now that {{mvar|X}} and {{mvar|Y}} are vector spaces ''over the same scalar field''. A mapping <math display="inline">\Lambda: X \to Y</math> is said to be ''linear'' if <math display="inline">\Lambda(\alpha x + \beta y) = \alpha\Lambda x + \beta\Lambda y</math> for all <math display="inline">x, y \in X</math> and all scalars <math display="inline">\alpha</math> and <math display="inline">\beta</math>. Note that one often writes <math display="inline">\Lambda x</math>, rather than <math display="inline">\Lambda(x)</math>, when <math display="inline">\Lambda</math> is linear.</ref><ref>{{harvnb|Rudin|1976|page=206}}. A mapping {{mvar|A}} of a vector space {{mvar|X}} into a vector space {{mvar|Y}} is said to be a ''linear transformation'' if: <math display="inline">A\left(\bf{x}_1 + \bf{x}_2\right) = A\bf{x}_1 + A\bf{x}_2,\ A(c\bf{x}) = cA\bf{x}</math> for all <math display="inline">\bf{x}, \bf{x}_1, \bf{x}_2 \in X</math> and all scalars {{mvar|c}}. Note that one often writes <math display="inline">A\bf{x}</math> instead of <math display="inline">A(\bf {x})</math> if {{mvar|A}} is linear.</ref>
:<math>\mathbf{f}(c_1 u_1+\cdots+c_m u_m)=c_1 \mathbf{f}(u_1)+\cdots+c_m \mathbf{f}(u_m).</math>
 
Ký hiệu các phần tử không của các không gian vectơ <math>V</math> và <math>W</math> tương ứng là <math display="inline">\mathbf{0}_V</math> và <math display="inline">\mathbf{0}_W</math>, ta suy ra <math display="inline">f(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W.</math>
Thông thường, ''V'' và ''W'' có thể xem như là các không gian vectơ trên các trường khác nhau, và khi đó điều quan trọng là xác định trường nào được dùng cho định nghĩa "tuyến tính". Nếu ''V'' và ''W'' thuộc không gian trên trường ''K'' như xác định ở trên, chúng ta nói về ''K''-ánh xạ tuyến tính. Ví dụ, liên hợp của một [[số phức]] là một '''R'''-ánh xạ tuyến tính '''C''' &rarr; '''C''', nhưng nó không phải là '''C'''-tuyến tính.▼
 
Cho <math>c = 0</math> và <math display="inline">\mathbf{v} \in V</math> trong phương trình của tính thuần nhất bậc 1:
 
:<math>f(\mathbf{0}_V) = f(0\mathbf{v}) = 0f(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_W.</math>
 
▲Thông thường, ''<math>V''</math> và ''<math>W''</math> có thể xem như là các không gian vectơ trên các trường khác nhau, và khi đó điều quan trọng là xác định trường nào được dùng cho định nghĩa "tuyến tính". Nếu ''<math>V''</math> và ''<math>W''</math> thuộclà các không gian trên trường ''<math>K''</math> như xác định ở trên, chúng ta nói về ''<math>K''</math>-ánh xạ tuyến tính. Ví dụ, phép lấy [[Liên hợp phức|liên hợp]] của một [[số phức]] là một '''<math>\mathbb{R'''}</math>-ánh xạ tuyến tính '''<math>\mathbb{C'''} &rarr;\rightarrow '''\mathbb{C'''}</math>, nhưng nó không phải là '''<math>\mathbb{C'''}</math>-tuyến tính, trong đó các trường <math>\mathbb{R}</math> và <math>\mathbb{C}</math> tương ứng là các trường số thực và số phức.
 
Một ánh xạ tuyến tính <math>V \rightarrow K</math> với trường <math>K</math> được xem như là một không gian vectơ 1 chiều trên chính nó được gọi là một [[phiếm hàm tuyến tính]].<ref>{{harvnb|Rudin|1991|page=14}}.
Linear mappings of {{mvar|X}} onto its scalar field are called ''linear functionals''.</ref>
 
Các mệnh đề trên đây có thể được tổng quát hóa đối với một mô đun trái bất kỳ <math display="inline">{}_R M</math> trên một vành <math>R</math> mà không cần sửa lại, và đối với một mô đun phải bất kỳ nhưng phải đổi thứ tự của phép nhân vô hướng.
== Các ví dụ ==
 
* Nếu ''A'' là một ''m'' &times; ''n'' [[ma trận (toán học)|ma trận]] ''m'' &times; ''n'', thì ''A'' định nghĩa một phép biến đổi tuyến tính từ '''R'''<sup>''n''</sup> đến '''R'''<sup>''m''</sup> bằng việc chuyển một [[vectơ cột]] ''x'' &isin; '''R'''<sup>''n''</sup> tới một vectơ cột ''Ax'' &isin; '''R'''<sup>''m''</sup>. Tất cả các phép biến đổi tuyến tính giữa các không gian vectơ [[hữu hạn chiều]] xuất hiện theo cách này; xem thêm các mục sau.
 
== Hạt nhân, ảnh và định lý về hạng ==
Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/wiki/Biến_đổi_tuyến_tính”