Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Biến đổi tuyến tính”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Dòng 41:
== Các ví dụ ==
* Ví dụ đơn giản nhất bắt nguồn cho các ánh xạ tuyến tính cái tên của chúng là hàm số <math>f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto cx</math>, với đồ thị là một đường thẳng qua gốc tọa độ.<ref>https://math.stackexchange.com/a/62791/401895</ref>
* Nếu ''A'' là một [[ma trận (toán học)|ma trận]] ''m'' × ''n'', thì ''A'' định nghĩa một phép biến đổi tuyến tính từ '''R'''<sup>''n''</sup> đến '''R'''<sup>''m''</sup> bằng việc chuyển một [[vectơ cột]] ''x'' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup> tới một vectơ cột ''Ax'' ∈ '''R'''<sup>''m''</sup>. Tất cả các phép biến đổi tuyến tính giữa các không gian vectơ [[hữu hạn chiều]] xuất hiện theo cách này; xem thêm các mục sau.▼
* Tổng quát hơn, bất kỳ một [[phép vị tự]] nào lấy tâm là gốc tọa độ của một không gian vectơ, <math display="inline">\mathbf{v} \mapsto c\mathbf{v}</math> trong đó ''<math>c</math>'' là vô hướng thì là một toán tử tuyến tính. Tuy nhiên, điều này nói chung không đúng đối với mô đun, khi một ánh xạ như vậy có thể chỉ là [[nửa tuyến tính]].
* Ánh xạ không <math display="inline">x \mapsto 0</math> giữa hai mô đun trái (hoặc hai mô đun phải) trên cùng một vành luôn là tuyến tính.
* [[Ánh xạ|Ánh xạ đồng nhất]] trên một mô đun bất kỳ là một toán tử tuyến tính.
* Đối với số thực, ánh xạ <math display="inline">x \mapsto x^2</math> không phải ánh xạ tuyến tính.
* Đối với số thực, ánh xạ <math display="inline">x \mapsto x + 1</math> không là ánh xạ tuyến tính (nhưng là một [[biến đổi afin]]; còn <math display="inline">y = x + 1</math> là một [[phương trình tuyến tính]], bởi thuật ngữ này được dùng trong [[hình học giải tích]].)
▲* Nếu ''<math>A</math>'' là một [[ma trận (toán học)|ma trận]]
* Nếu <math display="inline">f: V \rightarrow W</math> là một [[phép đẳng cự]] giữa hai không gian định chuẩn thực sao cho <math display="inline">f(0) = 0</math> thì <math>f</math> là một ánh xạ tuyến tính. Kết quả này có thể không đúng cho không gian định chuẩn phức.{{sfn|Wilansky|2013|pp=21-26}}
* [[Đạo hàm|Phép vi phân]] định nghĩa một ánh xạ tuyến tính từ không gian các [[Hàm số khả vi|hàm khả vi]] vào không gian các hàm số. Nó cũng xác định một toán tử tuyến tính trên không gian các [[hàm trơn]] (toán tử tuyến tính này là một [[Tự đồng cấu|'''tự đồng cấu''']] tuyến tính, tức là một ánh xạ tuyến tính mà [[miền xác định]] và [[miền giá trị]] là bằng nhau). Ví dụ:<math>\frac{d}{dx}\left( {{c}_{1}}{{f}_{1}}\left( x \right)+{{c}_{2}}{{f}_{2}}\left( x \right)+\cdots +{{c}_{n}}{{f}_{n}}\left( x \right) \right)={{c}_{1}}\frac{d{{f}_{1}}\left( x \right)}{dx}+{{c}_{2}}\frac{d{{f}_{2}}\left( x \right)}{dx}+\cdots +{{c}_{n}}\frac{d{{f}_{n}}\left( x \right)}{dx}</math>.
* Một [[tích phân]] xác định trên một [[Khoảng (toán học)|đoạn]] ''I'' là một ánh xạ tuyến tính từ không gian các [[Hàm số khả tích|hàm khả tích]] thực trên ''I'' vào ℝ. Ví dụ,<math>\int_{a}^{b}{[{{c}_{1}}{{f}_{1}}(x)+{{c}_{2}}{{f}_{2}}(x)+\ldots +{{c}_{n}}{{f}_{n}}(x)]dx}={{c}_{1}}\int_{a}^{b}{{{f}_{1}}(x)dx}+{{c}_{2}}\int_{a}^{b}{{{f}_{2}}(x)dx}+\ldots +{{c}_{n}}\int_{a}^{b}{{{f}_{n}}(x)dx}</math>.
* Một [[tích phân]] không xác định(hay [[nguyên hàm]]) với một điểm khởi đầu tích phân cố định xác định một ánh xạ tuyến tính từ không gian các hàm khả tích thực trên <math>\mathbb{R}</math> vào không gian các hàm giá trị thực khả vi trên <math>\mathbb{R}</math>. Không có điểm khởi đầu cố định, một kết quả trong lý thuyết nhóm sẽ cho thấy phép lấy nguyên hàm ánh xạ vào [[Không gian thương (đại số tuyến tính)|không gian thương]] của các hàm khả vi trên [[quan hệ tương đương]] "sai khác một hằng số", điều này tạo ra một lớp tương đương đồng nhất gồm các hàm có giá trị hằng số <math display="inline">\left(\,\int\!:\ I(\Re) \ \to\ D(\Re)/\Re\,\right)</math>.
* Nếu <math>V</math> và <math>W</math> là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường ''<math>\textsf{F}</math>'', thì các hàm đưa các ánh xạ tuyến tính <math display="inline">f: V \rightarrow W</math> vào không gian các ma trận kích thước <math display="inline">dim_F(W) \times dim_F(V)</math> (theo cách được mô tả trong phần sau) cũng là ánh xạ tuyến tính (và là [[đẳng cấu tuyến tính]]).
* [[Giá trị kỳ vọng]] của một [[biến ngẫu nhiên]] (thật ra là một hàm, và là phần tử của một không gian vectơ) là tuyến tính, bởi đối với hai biến ngẫu nhiên ''<math>X</math>'' và ''<math>Y</math>'' ta có <math>E[X + Y] = E[X] + E[Y]</math> và <math>E[aX] = aE[X]</math>, nhưng [[phương sai]] của một biến ngẫu nhiên không là tuyến tính.
<gallery widths="300" heights="200">
Tập tin:Streckung eines Vektors.gif|Hàm <math display="inline">f:\R^2 \to \R^2</math> với <math display="inline">f(x, y) = (2x, y)</math> là ánh xạ tuyến tính. Hàm này nhân thành phần <math display="inline">x</math> của một vectơ bởi hệ số <math display="inline">2</math>.
Tập tin:Streckung der Summe zweier Vektoren.gif|Hàm <math display="inline">f(x, y) = (2x, y)</math> là cộng tính: Không quan trọng các vectơ được cộng trước hay sau khi áp dụng ánh xạ: <math display="inline">f(a + b) = f(a) + f(b)</math>
Tập tin:Streckung homogenitaet Version 3.gif|Hàm <math display="inline">f(x, y) = (2x, y)</math> có tính đồng nhất: Không quan trọng là một vectơ được nhân trước khi áp dụng ánh xạ hay ánh xạ trước rồi mới được nhân: <math display="inline">f(\lambda a) = \lambda f(a)</math>
</gallery>
== Ma trận ==
== Hạt nhân, ảnh và định lý về hạng ==
| |||