Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Biến đổi tuyến tính”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Dòng 60:
</gallery>
== Ma trận ==
{{main|Ma trận của biến đổi tuyến tính}}
Nếu ''<math>V</math>'' và ''<math>W</math>'' là các không gian vectơ [[hữu hạn chiều]] và một [[Cơ sở (đại số tuyến tính)|cơ sở]] được xác định cho mỗi không gian vectơ, thì mọi ánh xạ tuyến tính từ ''<math>V</math>'' vào ''<math>W</math>'' có thể được biểu diễn bởi một [[Ma trận (toán học)|ma trận]].<ref>{{harvnb|Rudin|1976|page=210}}
Suppose <math display="inline">\left\{\bf{x}_1, \ldots, \bf{x}_n\right\}</math> and <math display="inline">\left\{\bf{y}_1, \ldots, \bf{y}_m\right\}</math> are bases of vector spaces {{mvar|X}} and {{mvar|Y}}, respectively. Then every <math display="inline">A \in L(X, Y)</math> determines a set of numbers <math display="inline">a_{i,j}</math> such that
:<math>A\bf{x}_j = \sum_{i=1}^m a_{i,j}\bf{y}_i\quad (1 \leq j \leq n).</math>
It is convenient to represent these numbers in a rectangular array of {{mvar|m}} rows and {{mvar|n}} columns, called an {{mvar|m}} ''by'' {{mvar|n}} ''matrix'':
:<math>[A] = \begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m,1} & a_{m,2} & \ldots & a_{m,n}
\end{bmatrix}</math>
Observe that the coordinates <math display="inline">a_{i,j}</math> of the vector <math display="inline">A{\bf x}_j</math> (with respect to the basis <math display="inline">\{\bf{y}_1, \ldots, \bf{y}_m\}</math>) appear in the ''j''<sup>th</sup> column of <math display="inline">[A]</math>. The vectors <math display="inline">A{\bf x}_j</math> are therefore sometimes called the ''column vectors'' of <math display="inline">[A]</math>. With this terminology, the ''range'' of {{mvar|A}} ''is spanned by the column vectors of <math display="inline">[A]</math>''.
</ref> Điều này hữu ích vì nó cho phép tính toán các ánh xạ một cách cụ thể. Các ma trận chính là các ví dụ của ánh xạ tuyến tính: Nếu ''<math>A</math>'' là ma trận thực <math>m \times n</math>, thì <math>f(x) = Ax</math> mô tả một ánh xạ tuyến tính <math>\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m</math> (xem [[không gian Euclid]]).
Cho ''<math>\{ \bold{v}_1, \cdots , \bold{v}_n \}</math>'' là một cơ sở của ''<math>V</math>''. Vậy thì mỗi vectơ ''<math>\bold{v} \in V</math>'' được xác định duy nhất bởi các hệ số (tọa độ) ''<math>\bold{c}_1, \cdots , \bold{c}_n</math>''trong trường '''<math>\mathbb{R}^n</math>''':
: <math>c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n.</math>
Nếu <math display="inline">f: V \rightarrow W</math> là một ánh xạ tuyến tính thì
: <math>f\left(c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n\right) = c_1 f\left(\mathbf{v}_1\right) + \cdots + c_n f\left(\mathbf{v}_n\right),</math>
từ điều này suy ra rằng hàm ''<math>f</math>'' hoàn toàn được xác định bởi các vectơ ''<math>f(\bold{v}_1), \cdots , f(\bold{v}_n)</math>''. Ta có ''<math>\{ \bold{w}_1, \cdots , \bold{w}_m \}</math>'' là một cơ sở của ''<math>W</math>''. Vậy thì ta có thể biểu diễn từng vectơ ''<math>f(\bold{v}_j)</math>'' dưới dạng
: <math>f\left(\mathbf{v}_j\right) = a_{1j} \mathbf{w}_1 + \cdots + a_{mj} \mathbf{w}_m.</math>
Vì vậy, biến đổi ''<math>f</math>'' hoàn toàn được xác định bởi các giá trị ''<math>a_{ij}</math>''. Nếu ta đặt các giá trị này vào một ma trận ''<math>M</math>'' với kích thước <math>m \times n</math>, thì ta có thể sử dụng để tính toán một cách thuận tiện vectơ đầu ra của ''<math>f</math>'' cho một vectơ bất kỳ trong ''<math>V</math>''. Để xây dựng ''<math>M</math>'', mỗi cột ''<math>j</math>'' của ''<math>M</math>'' là một vectơ
: <math>\begin{pmatrix} a_{1j} & \cdots & a_{mj} \end{pmatrix}^\textsf{T}</math>
tương ứng với ''<math>f(\bold{v}_j)</math>'' được định nghĩa như trên. Để định nghĩa một cách rõ ràng hơn, đối với một cột ''<math>j</math>'' tương ứng với ánh xạ ''<math>f(\bold{v}_j)</math>''thì
: <math>\mathbf{M} = \begin{pmatrix}
\ \cdots & a_{1j} & \cdots\ \\
& \vdots & \\
& a_{mj} &
\end{pmatrix}</math>
trong đó '''''<math>M</math>''''' là ma trận của biến đổi ''<math>f</math>''. Nói cách khác, ở mỗi cột ''<math>j = 1, \cdots, n</math>'' có một vectơ tương ứng ''<math>f(\bold{v}_j)</math>''với tọa độ <math>a_{1j} + \cdots + a_{mj}</math> là các phần tử của cột ''<math>j</math>''. Một ánh xạ tuyến tính có thể được biểu diễn bởi nhiều ma trận. Điều này là bởi các giá trị của các phần tử trong một ma trận phụ thuộc vào cơ sở được chọn.
=== Ví dụ của ma trận biến đổi tuyến tính ===
Trong [[không gian hai chiều]] '''R'''<sup>2</sup> các ánh xạ tuyến tính được biểu diễn bởi các [[ma trận thực 2 × 2]] . Dưới đây là một số ví dụ:
* [[phép quay]] (ngược chiều kim đồng hồ)
** một góc 90 độ:
**: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}</math>
** một góc ''θ'':
**: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}</math>
* [[Phép phản xạ (toán học)|phép phản xạ]]
** qua trục ''x'':
**: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}</math>
** qua trục ''y'':
**: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}</math>
** qua một đường thẳng xiên một góc ''θ'':
**:<math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix}\cos{2 \theta} & \sin{2 \theta} \\ \sin{2 \theta} & -\cos{2 \theta} \end{pmatrix}</math>
* phép [[phóng tỉ lệ]] với hệ số nhân 2 theo mọi hướng:
*: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2\mathbf{I}</math>
* [[phép trượt ngang]]:
*: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & m\\ 0 & 1\end{pmatrix}</math>
* [[phép co]] (''squeeze''):
*: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & \frac{1}{k}\end{pmatrix}</math>
* [[Phép chiếu tuyến tính|phép chiếu]] lên trục ''y'':
*: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.</math>
== Hạt nhân, ảnh và định lý về hạng ==
| |||