Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Biến đổi tuyến tính”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Không có tóm lược sửa đổi |
|||
Dòng 130:
*: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.</math>
== Không gian các ánh xạ tuyến tính ==
Ánh xạ hợp của các ánh xạ tuyến tính cũng là ánh xạ tuyến tính: nếu các ánh xạ <math>f: V \rightarrow W</math> và <math display="inline">g: W \rightarrow Z</math> là tuyến tính, thì [[Hàm hợp|ánh xạ hợp]] <math display="inline">g \circ f: V \rightarrow Z</math> cũng vậy. Từ đây suy ra rằng [[Lớp (lý thuyết tập hợp)|lớp]] các không gian vectơ trên một trường cho trước ''K'', cùng với các ''K''-ánh xạ tuyến tính là các [[cấu xạ]], tạo thành một [[Phạm trù (toán học)|phạm trù]].
[[Ánh xạ|Ánh xạ ngược]] của một ánh xạ tuyến tính nếu tồn tại cũng là tuyến tính.
Nếu <math display="inline">f_1: V \rightarrow W</math> và <math display="inline">f_2: V \rightarrow W</math> là tuyến tính, thì hàm tổng của chúng <math>f_1 + f_2</math> cũng tuyến tính, được định nghĩa là <math>(f_1 + f_2)(x) = f_1(x) + f_2(x)</math>.
Nếu <math display="inline">f: V \rightarrow W</math> là tuyến tính và ''<math display="inline">\alpha</math>'' là một phần tử của trường bên dưới ''<math display="inline">K</math>'', thì ánh xạ ''<math display="inline">\alpha f</math>'', định nghĩa bởi ''<math display="inline">(\alpha f)(x) = \alpha (f(x))</math>'' cũng là tuyến tính.
Vì thế tập hợp ''<math display="inline">\mathcal{L}(V, W)</math>'' gồm các ánh xạ tuyến tính từ ''<math display="inline">V</math>'' vào ''<math display="inline">W</math>'' cũng là một không gian vectơ trên trường ''<math display="inline">K</math>'',<ref>{{Cite book|last=Axler|first=Sheldon|title=Linear Algebra Done Right|publisher=[[Springer Publishing]]|year=2015|isbn=978-3-319-11079-0|edition=3rd|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|location=|pages=52|issn=0172-6056}}</ref> đôi khi ký hiệu là ''<math display="inline">\operatorname{Hom}(V, W)</math>''.<ref name=":1">{{Cite book|last=Tu|first=Loring|title=An Introduction to Manifolds|date=|publisher=[[Springer Publishing|Springer]]|year=2011|isbn=978-1-4419-7399-3|edition=2nd|series=Universitext|pages=19|issn=0172-5939}}</ref> Hơn nữa, trong trường hợp ''<math display="inline">V = W</math>'' thì không gian này, ký hiệu ''<math display="inline">\operatorname{End}(V)</math>'', là một [[đại số kết hợp]] dưới phép [[Hàm hợp|hợp ánh xạ]], vì hợp của hai ánh xạ tuyến tính cũng là một ánh xạ tuyến tính, và phép hợp ánh xạ có tính kết hợp. Trường hợp này được nói cụ thể hơn ở dưới.
Trong trường hợp hữu hạn chiều, nếu các cơ sở đã được chọn trước thì phép hợp các ánh xạ tuyến tính tương ứng với phép nhân ma trận, phép cộng các ánh xạ tuyến tính tương ứng với phép [[cộng ma trận]], và [[phép nhân vô hướng]] các ánh xạ tuyến tính tương ứng với phép nhân ma trận với vô hướng.
=== Endomorphisms and automorphisms ===
{{main|Tự đồng cấu|Tự đẳng cấu}}
Một biến đổi tuyến tính <math display="inline">f: V \rightarrow V</math> là một [[tự đồng cấu]] trên ''<math display="inline">V</math>''; tập hợp các tự đồng cấu ''<math display="inline">\operatorname{End}(V)</math>'' cùng với phép cộng, phép hợp và phép nhân vô hướng được định nghĩa như trên tạo thành một đại số kết hợp có đơn vị trên trường ''<math display="inline">K</math>'' (và cụ thể hơn là một [[vành]]). Phần tử đơn vị phép nhân của đại số này là [[ánh xạ đồng nhất]] <math display="inline">\operatorname{id}: V \rightarrow V</math>.
Một tự đồng cấu trên ''<math display="inline">V</math>'' mà đồng thời cũng là một [[Phép đẳng cấu|đẳng cấu]] được gọi là một [[tự đẳng cấu]] trên ''<math display="inline">V</math>''. Hợp của hai tự đẳng cấu cũng là một tự đẳng cấu, và tập hợp các tự đẳng cấu trên ''<math display="inline">V</math>'' tạo thành một [[Nhóm (toán học)|nhóm]] gọi là [[Nhóm tự đẳng cấu|nhóm các tự đẳng cấu]] trên ''<math display="inline">V</math>'' và được ký hiệu là ''<math display="inline">\operatorname{Aut}(V)</math>'' hay ''<math display="inline">\operatorname{GL}(V)</math>''. Vì các tự đẳng cấu cũng chính là các tự đồng cấu có ánh xạ ngược dưới phép hợp ánh xạ nên ''<math display="inline">\operatorname{Aut}(V)</math>'' là nhóm các [[Đơn vị (lý thuyết vành)|đơn vị]] trên vành ''<math display="inline">\operatorname{End}(V)</math>''.
Nếu ''<math display="inline">V</math>'' có số chiều hữu hạn ''<math display="inline">n</math>'', thì ''<math display="inline">\operatorname{End}(V)</math>'' [[đẳng cấu]] với [[đại số kết hợp]] gồm các ma trận vuông ''<math display="inline">n \times n</math>'' với các phần tử trong ''<math display="inline">K</math>''. Nhóm các tự đẳng cấu trên ''<math display="inline">V</math>'' đẳng cấu với [[nhóm tuyến tính tổng quát]] ''<math display="inline">\operatorname{GL}(n, K)</math>'' gồm các ma trận khả nghịch ''<math display="inline">n \times n</math>'' với các phần tử trong ''<math display="inline">K</math>''.
== Hạt nhân, ảnh và định lý về hạng ==
{{main|Hạt nhân (đại số tuyến tính)|Ảnh (toán học)|Hạng (ma trận)|Định lý về hạng}}Nếu
:<math>\operatorname{\ker}(f)=\{\,x\in V:f(x)=0\,\}</math>
:<math>\operatorname{im}(f)=\{\,f(x):x\in V\,\}</math>
:<math>
\dim(\ker(f))
Hàng 141 ⟶ 164:
= \dim(V) \,</math>
== Xem thêm==
| |||