Trong [[toán học]], một phép '''biến đổi tuyến tính''' (còn được gọi là '''toán tử tuyến tính''' hoặc là '''[[ánh xạ]] tuyến tính''') là một [[ánh xạ]] <math>V \rightarrow W</math> giữa hai [[Mô đun (toán học)|mô đun]] (cụ thể, ví dụ hai [[không gian vectơ]]) mà bảo toàn được các thao tác cộng và [[Phép nhân vô hướng|nhân vô hướng]] vectơ. Nói một cách khác, nó bảo toàn [[tổ hợp tuyến tính]]. Nếu ánh xạ tuyến tính là một [[song ánh]] thì nó được gọi là '''đẳng cấu tuyến tính'''.
Một trường hợp quan trọng là khi <math>V = W</math>, khi đó ánh xạ tuyến tính được gọi là một [[tự đồng cấu]] (tuyến tính) trong <math>V</math>. Đôi khi thuật ngữ '''toán tử tuyến tính''' chỉ ánh xạ trong trường hợp này,<ref>"Linear transformations of {{mvar|<math>V}}</math> into {{mvar|<math>V}}</math> are often called ''linear operators'' on {{mvar|<math>V}}</math>." {{harvnb|Rudin|1976|page=207}}</ref> nhưng nó có thể mang ý nghĩa khác tùy theo các quy ước: ví dụ, thuật ngữ này có thể được dùng để nhấn mạnh rằng <math>V</math> và <math>W</math> là các không gian vectơ [[Số thực|thực]] (không nhất thiết là <math>V = W</math>),{{citation needed|date=November 2020}} hay để nhấn mạnh rằng <math>V</math> là một [[không gian hàm]] (đây là một quy ước thông thường trong giải tích hàm).<ref>Let {{mvar|<math>V}}</math> and {{mvar|<math>W}}</math> be two real vector spaces. A mapping a from {{mvar|<math>V}}</math> into {{mvar|<math>W}}</math> Is called a 'linear mapping' or 'linear transformation' or 'linear operator' [...] from {{mvar|<math>V}}</math> into {{mvar|<math>W}}</math>, if
<math display="inline">a(u+v)=au+av</math> for all <math display="inline">u,v \in V</math>, <math display="inline"> a(\lambda u) = \lambda au </math> for all <math>u \in V</math> and all real {{mvar|λ}}. {{harvnb|Bronshtein|Semendyayev|2004|page=316}}</ref> Đôi khi thuật ngữ ''hàm tuyến tính'' cũng mang nghĩa là ''ánh xạ tuyến tính'', nhưng không phải trong [[hình học giải tích]].
:<math>A\bf{x}_j = \sum_{i=1}^m a_{i,j}\bf{y}_i\quad (1 \leq j \leq n).</math>
It is convenient to represent these numbers in a rectangular array of {{mvar|<math>m}}</math> rows and {{mvar|<math>n}}</math> columns, called an {{mvar|<math>m}}</math> ''by'' {{mvar|<math>n}}</math> ''matrix'':
:<math>[A] = \begin{bmatrix}
Không có cách phân loại các biến đổi tuyến tính nào là triệt để. Sau đây là một số phân loại đặc biệt mà không xét bất kỳ cấu trúc bổ sung nào trên không gian vectơ.
Cho {{mvar|<math>V}}</math> và {{mvar|<math>W}}</math> là các không gian vectơ trên một trường {{mvar|<math>F}}</math> và cho {{<math|''>T'': ''V'' →\rightarrow ''W''}}</math> là một ánh xạ tuyến tính.
'''Định nghĩa''': {{mvar|<math>T}}</math> được gọi là ''biến đổi [[đơn ánh]]'' hay là một ''[[đơn cấu]]'' không gian vectơ nếu một trong số các điều kiện tương đương sau đây được thỏa mãn:
# {{mvar|<math>T}}</math> là một phép [[đơn ánh]]
# {{<math|1=>\ker ''T'' = \{0<sub>''V''0_V\}</submath>}}}
# {{<math|1=>dim(\ker'' T'') = 0}}</math>
# {{mvar|<math>T}}</math> là [[đơn cấu]] hay ''khử trái được'', nói cách khác, đối với bất kỳ một không gian vectơ {{mvar|<math>U}}</math> và một cặp ánh xạ tuyến tính {{<math|''>R'': ''U'' →\rightarrow ''V''}}</math> và {{<math|''>S'': ''U'' →\rightarrow ''V''}}</math>, từ đẳng thức {{ <math|1=''>TR'' = ''TS''}}</math> suy ra {{<math|1=''>R'' = ''S''}}</math>.
# {{mvar|<math>T}}</math> ''khả nghịch trái'', tức là tồn tại một ánh xạ tuyến tính {{<math|''>S'': ''W'' →\rightarrow ''V''}}</math> sao cho {{<math|''>ST''}}</math> là [[ánh xạ đồng nhất]] trên {{mvar|<math>V}}</math>.
'''Định nghĩa''': {{mvar|<math>T}}</math> được gọi là ''biến đổi [[toàn ánh]]'' hay một ''[[toàn cấu]]'' không gian vectơ nếu một trong các điều kiện tương đương sau đây được thỏa mãn:
# {{mvar|<math>T}}</math> là một phép [[toàn ánh]]
# [[Số đối chiều|coker]] ''<math>T'' = \{0<sub>''W''0_W\}</submath>}
# {{mvar|<math>T}}</math> là [[toàn cấu]] hay ''khử phải được'', nói cách khác, đối với bất kỳ một không gian vectơ {{mvar|<math>U}}</math> và một cặp ánh xạ tuyến tính {{<math|''>R'': ''W'' →\rightarrow ''U''}}</math> và {{<math|''>S'': ''W'' →\rightarrow ''U''}}</math>, từ đẳng thức {{<math|1=''>RT'' = ''ST''}}</math> suy ra {{<math|1=''>R'' = ''S''}}</math>.
# {{mvar|<math>T}}</math> ''khả nghịch phải'', tức là tồn tại một ánh xạ tuyến tính {{<math|''>S'': ''W'' →\rightarrow ''V''}}</math> sao cho {{<math|''>TS''}}</math> là ánh xạ đồng nhất trên {{mvar|<math>W}}</math>.
'''Định nghĩa''': {{mvar|<math>T}}</math> được gọi là một ''[[đẳng cấu]]'' nếu nó đồng thời là khả nghịch trái và là khả nghịch phải. Điều này là tương đương với {{mvar|<math>T}}</math> đồng thời là đơn ánh và là toàn ánh (tức là một [[song ánh]]) hay {{mvar|<math>T}}</math> đồng thời là một đơn cấu và là một toàn cấu.
Cho {{<math|''>T'': ''V'' →\rightarrow ''V''}}</math> gọi là một [[tự đồng cấu]], ta có:
* Nếu với một số nguyên dương {{mvar|<math>n}}</math>, tác động lặp lần thứ {{mvar|<math>n}}</math> của {{mvar|<math>T}}</math> (tức là {{math|''T''<supmath>''T^n''</supmath>}}) bằng 0 thì {{mvar|<math>T}}</math> được gọi là [[lũy linh]].
* Nếu {{<math|1>T^2=''T''<sup>2</supmath> = ''T''}}, thì {{mvar|<math>T}}</math> được gọi là [[lũy đẳng]].
* Nếu {{<math|1=''>T'' = ''kI''}}</math>, trong đó {{mvar|<math>k}}</math> là một vô hướng thì {{mvar|<math>T}}</math> gọi là một phép phóng tỉ lệ hay phép biến đổi nhân vô hướng.
== Chuyển cơ sở ==
|