Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Biến đổi tuyến tính”

* [[Đạo hàm|Phép vi phân]] định nghĩa một ánh xạ tuyến tính từ không gian các [[Hàm số khả vi|hàm khả vi]] vào không gian tất cả các hàm số. Nó cũng xác định một toán tử tuyến tính trên không gian các [[hàm trơn]] (toán tử tuyến tính này là một [[Tự đồng cấu|'''tự đồng cấu''']] tuyến tính, tức là một ánh xạ tuyến tính mà [[miền xác định]] và [[miền giá trị]] là bằng nhau). Ví dụ:<math>\frac{d}{dx}\left( {{c}_{1}}{{f}_{1}}\left( x \right)+{{c}_{2}}{{f}_{2}}\left( x \right)+\cdots +{{c}_{n}}{{f}_{n}}\left( x \right) \right)={{c}_{1}}\frac{d{{f}_{1}}\left( x \right)}{dx}+{{c}_{2}}\frac{d{{f}_{2}}\left( x \right)}{dx}+\cdots +{{c}_{n}}\frac{d{{f}_{n}}\left( x \right)}{dx}</math>.

* Một [[tích phân]] xác định trên một [[Khoảng (toán học)|đoạn]] ''I'' là một ánh xạ tuyến tính từ không gian các [[Hàm số khả tích|hàm khả tích]] thực trên ''I'' vào ℝ. Ví dụ,<math>\int_{a}^{b}{[{{c}_{1}}{{f}_{1}}(x)+{{c}_{2}}{{f}_{2}}(x)+\ldots +{{c}_{n}}{{f}_{n}}(x)]dx}={{c}_{1}}\int_{a}^{b}{{{f}_{1}}(x)dx}+{{c}_{2}}\int_{a}^{b}{{{f}_{2}}(x)dx}+\ldots +{{c}_{n}}\int_{a}^{b}{{{f}_{n}}(x)dx}</math>.

* Nếu <math>V</math> và <math>W</math> là các không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường ''<math>\textsf{F}</math>'', thì các hàm đưa các ánh xạ tuyến tính <math display="inline">f: V \rightarrow W</math> vào không gian các ma trận với kích thước <math display="inline">dim_F(W) \times dim_F(V)</math> (theo cách được mô tả trong phần sau) cũng là các ánh xạ tuyến tính (và là [[đẳng cấu tuyến tính]]).

* [[Giá trị kỳ vọng]] của một [[biến ngẫu nhiên]] (thực chất là một hàm, và là phần tử của một không gian vectơ) là tuyến tính, bởi đối với hai biến ngẫu nhiên ''<math>X</math>'' và ''<math>Y</math>'' ta có <math>E[X + Y] = E[X] + E[Y]</math> và <math>E[aX] = aE[X]</math>, nhưng [[phương sai]] của một biến ngẫu nhiên không là tuyến tính.