Wikipedia

Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Đồng cấu nhóm”

Duyệt lịch sử tương tác
← Thay đổi trướcThay đổi sau →
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Trực quanMã wiki
thêm ví dụ và nội dung phạm trù
Thẻ: Thêm một hay nhiều mục vào danh sách Qua trình soạn thảo trực quan: Đã chuyển
n clean up,CS1 errors fixes, replaced: , → ,, . → . (2), ( → ( (5), ) → ), : → : (9), ; → ; (4) using AWB
Dòng 1:
{{thiếu nguồn}}[[Tập tin:Group_homomorphism_ver.2.svg|phải|nhỏ|250x250px| Hình ảnh của một nhóm đồng cấu nhóm ('''h''') từ '''G''' (trái) sang '''H''' (phải). Hình bầu dục nhỏ hơn bên trong '''H''' là ảnh của '''h''' . '''N''' là hạt nhân của '''h''' và '''aN''' là [[Coset|lớp lân cận]] của '''N.''']]
Trong [[toán học]], cho hai [[Nhóm (toán học)|nhóm]], ( ''G'', ∗) và ( ''H'', ·), phép '''đồng cấu nhóm''' từ ( ''G'', ∗) thành ( ''H'', ·) là một [[Hàm số|hàm]] ''h'' : ''G'' → ''H'' sao cho với mọi ''u'' và ''v'' trong ''G'' nó thoả mãn
 
: <math> h(u*v) = h(u) \cdot h(v) </math>
Dòng 19:
 
== Mục tiêu ==
Mục đích của việc xác định phép đồng cấu nhóm là tạo ra các hàm bảo toàn cấu trúc đại số. Một định nghĩa tương đương của phép đồng cấu nhóm là: Hàm ''h'' : ''G'' → ''H'' là phép đồng cấu nhóm nếu bất cứ khi nào
 
''a'' ∗ ''b'' = ''c''&nbsp; ''thì ta có h''(''a'') ⋅ ''h''(''b'') = ''h''(''c'').
Dòng 30:
: Một đồng cấu nhóm có tính [[đơn ánh]] (một đối một); tức là, bảo tồn tính khác biệt.
; [[Toàn cấu]]
: Một đồng cấu nhóm có tính [[toàn ánh]] ; tức là, mọi giá trị trong ảnh đều có giá trị tương ứng của chúng.
; [[Phép đẳng cấu|Đẳng cấu]]
: Đồng cấu nhóm có [[Song ánh|tính chất song ánh]] ; tức là, có đồng thời tính đơn ánh và tính toàn ánh. Nghịch đảo của nó cũng là một phép đồng cấu nhóm. Trong trường hợp này, các nhóm ''G'' và ''H'' được gọi là ''đồng phân'' ; chúng chỉ khác nhau về ký hiệu của các phần tử của chúng và giống nhau cho tất cả các mục đích thực tiễn.
; [[Endomorphism|Tự đồng cấu]]
: Phép đồng cấu, ''h'' : ''G'' → ''G'' ; mà miền và [[Tập hợp đích|đối miền]] là một. Cũng được gọi là tự đồng cấu của ''G.''
; [[Phép tự đẳng cấu|Tự đẳng cấu]]
: Một tự đồng cấu có tính song ánh, do đó đồng thời là đẳng cấu. Tập hợp tất cả [[Phép tự đẳng cấu|tự đẳng cấu]] của một nhóm ''G'', với [[Hàm hợp|phép hợp nhau]] làm toán tử, tự tạo thành một nhóm, ''nhóm tự đẳng cấu'' của ''G.'' Nó được ký hiệu là Aut(''G''). Ví dụ, nhóm tự đẳng cấu của ('''Z''',+) chỉ chứa hai phần tử, phép biến đổi đồng nhất và phép nhân với −1; nó là đồng phân của '''Z'''/2'''Z.'''
Dòng 47:
: <math> \operatorname{im}(h) \equiv h(G) \equiv \left\{h(u)\colon u \in G\right\}.</math>
 
Hạt nhân và ảnh của một phép đồng cấu có thể được hiểu là cách đo lường độ gần giống với một phép đẳng cấu. [[Định lý đẳng cấu|Định lý đẳng cấu đầu tiên]] phát biểu rằng ảnh của một đồng cấu nhóm ''h'' ( ''G'' ) đồng hình với nhóm thương ''G''/ker ''h'' .
 
Hạt nhân của h là [[nhóm con chuẩn tắc]] của ''G'' và ảnh của h là [[nhóm con]] của ''H'' :
 
: <math>\begin{align}
Dòng 57:
\end{align}</math>
 
Khi và chỉ khi {{Nowrap|ker(''h'') {{=}} {''e''<sub>''G''</sub>}} } , thì phép đồng cấu h là một đơn cấu nhóm, tức là, ''h'' có tính đơn ánh (một đối một). Đơn ánh trực tiếp cho ta biết chỉ có duy nhất một phần tử trong hạt nhân cung cấp tính đơn ánh:
 
: <math>\begin{align}
Dòng 69:
== Ví dụ ==
 
* Xét [[nhóm cyclic]] '''Z'''/3'''Z''' = {0, 1, 2} và nhóm các số nguyên '''Z''' với phép cộng. Ánh xạ ''h'' : '''Z''' → '''Z'''/3'''Z''' với ''h''(''u'') = ''u'' [[Số học mô đun|mod]] 3 là phép đồng cấu nhóm. Nó có tính toàn ánh và hạt nhân của nó bao gồm tất cả các số nguyên chia hết cho 3.
* Xét nhóm sau
:<math>G \equiv \left\{\begin{pmatrix}
Dòng 77:
</math>
 
Với mọi số phức ''u'' hàm ''f<sub>u</sub>'' : ''G'' → '''C<sup>*</sup>''' định nghĩa bởi:
:<math>\begin{pmatrix}
a & b \\
Dòng 85:
 
là một đồng cấu nhóm.
* [[hàm mũ|Hàm mũ]] là một đồng cấu nhóm từ tập số thực '''R''' với phép cộng đến tập số thực dương '''R'''* với phép nhân. Hạt nhân là {0} và ảnh là các số thực dương.
 
== Phạm trù của nhóm ==
Nếu {{nowrap|''h'' : ''G'' → ''H''}} và {{nowrap|''k'' : ''H'' → ''K''}} là hai đồng cấu nhóm, thì {{nowrap|''k'' ∘ ''h'' : ''G'' → ''K''}} cũng là đồng cấu nhóm. Điều này cho thấy lớp của mọi nhóm, cùng với đồng cầu nhóm làm cấu xạ, tạo thành một phạm trù.
 
== Tham khảo ==
Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/wiki/Đồng_cấu_nhóm”