Khác biệt giữa các bản “Nhóm tuyến tính tổng quát”

AlphamaEditor, Executed time: 00:00:06.8184053 using AWB
n
(AlphamaEditor, Executed time: 00:00:06.8184053 using AWB)
Trong [[toán học]], đặc biệt là trong [[Đại số trừu tượng]] và [[Đại số tuyến tính]], '''nhóm tuyến tính tổng quát''' bậc ''n'' là tập hợp {{Nowrap|''n''×''n''}} [[ma trận khả nghịch]], cùng với [[Phép nhân ma trận|phép toán nhân ma trận]] làm phép toán nhóm. Nó tạo thành một [[Nhóm (toán học)|nhóm]], là bởi vì tích của hai ma trận khả nghịch là một ma trận khả nghịch, và nghịch đảo của một ma trận khả nghịch cũng là một ma trận khả nghịch, với ma trận đơn vị là phần tử đơn vị của nhóm. Nhóm được đặt tên như vậy là do các cột của ma trận [[độc lập tuyến tính]] với nhau.
 
Chính xác hơn, ta cần phải xác định các phần tử trong ma trận thuộc nhóm đối tượng nào. Ví dụ, nhóm tuyến tính tổng quát trên '''R''' (tập các [[số thực]] ) là nhóm {{Nowrap|''n''×''n''}} ma trận khả nghịch của các số thực, được ký hiệu là GL<sub>''n''</sub>('''R''') hoặc {{Nowrap|GL(''n'', '''R''')}} .
 
Tổng quát hơn, nhóm tuyến tính tổng quát của bậc ''n'' trên bất kỳ [[Trường (đại số)|trường]] ''F nào'' (chẳng hạn như [[số phức]] ), hoặc một [[vành]] ''R'' (chẳng hạn như vành các [[số nguyên]] ), là tập hợp {{Nowrap|''n''×''n''}} ma trận khả nghịch với các phần tử từ ''F'' (hoặc ''R'' ), tạo thành một nhóm với phép nhân ma trận là phép toán nhóm. <ref name="ring">Các vành được cho là có tính kết hợp và unital.</ref> Kí hiệu hay dùng là GL<sub>''n''</sub>(''F'') hoặc {{Nowrap|GL(''n'',''F'')}}.
 
Nhóm '''tuyến tính đặc biệt''', kí hiệu là {{Nowrap|SL(''n'', ''F'')}} hoặc SL<sub>''n''</sub>( ''F'' ), là [[nhóm con]] của {{Nowrap|GL(''n'', ''F'')}} chỉ bao gồm các ma trận với [[định thức]] là 1.
 
Nếu {{Nowrap|''n'' ≥ 2}}, thì nhóm {{Nowrap|GL(''n'', ''F'')}} không phải là [[nhóm giao hoán]] .
 
== Nhóm tuyến tính tổng quát của không gian vectơ ==
Nếu ''V'' là một [[không gian vectơ]] trên trường ''F'', thì nhóm tuyến tính tổng quát của ''V'', viết tắt là GL ( ''V'' ) hoặc Aut ( ''V'' ), là nhóm của tất cả [[Phép tự đẳng cấu|tự đẳng cấu]] của ''V'', tức là tập hợp tất cả các phép [[biến đổi tuyến tính]] có tính [[song ánh]] {{Nowrap|''V'' → ''V''}}, cùng với phép hợp hàm làm phép toán trong nhóm. Nếu ''V'' có hữu hạn chiều ''n'' thì GL ( ''V'' ) và {{Nowrap|GL(''n'', ''F'')}} là [[Đẳng cấu nhóm|đồng hình]] . Phép đẳng cấu không thể tự tìm ngay ra được; nó phụ thuộc vào việc lựa chọn [[Cơ sở (đại số tuyến tính)|cơ sở]] trong ''V.'' Cho một cơ sở {{Nowrap|(''e''<sub>1</sub>, ..., ''e''<sub>''n''</sub>)}} của ''V'' và một phép tự đẳng cấu ''T'' trong GL(''V''), khi đó chúng ta có với mọi vectơ cơ sở ''e''<sub>''i''</sub> rằng
 
: <math>T(e_i) = \sum_{j=1}^n a_{ij} e_j</math>
 
== Trên các trường hữu hạn ==
[[Tập tin:Symmetric_group_3;_Cayley_table;_GL(2,2).svg|nhỏ| Bảng Cayley của {{Nowrap|GL(2, 2)}}, là đồng phân của S<sub>3</sub>.]]
Nếu ''F'' là một [[trường hữu hạn]] với ''q'' phần tử, thì đôi khi chúng ta viết {{Nowrap|GL(''n'', ''q'')}} thay vì {{Nowrap|GL(''n'', ''F'')}} .
 
Cấp của nhóm {{Nowrap|GL(''n'', ''q'')}} là:
 
: <math>\prod_{k=0}^{n-1}(q^n-q^k)=(q^n - 1)(q^n - q)(q^n - q^2)\ \cdots\ (q^n - q^{n-1}).</math>
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
== Chú thích ==
{{reflisttham khảo|group=ring}}
 
[[Thể loại:Nhóm Lie]]