Khác biệt giữa các bản “Tác động nhóm”

không có tóm lược sửa đổi
n (Mwcb đã đổi Tác dụng nhóm thành Tác động nhóm: Thay tên ứng với gt-ltn của đhqghn)
'''Chữ đậm'''
[[Tập tin:Group_action_on_equilateral_triangle.svg|phải|nhỏ| Cho một [[tam giác đều]] [[Quay|, phép quay]] ngược chiều kim đồng hồ một góc 120° quanh tâm của tam giác sẽ ánh xạ mọi đỉnh của tam giác với một đỉnh khác. Nhóm [[Nhóm cyclic|tuần hoàn]] ''C''<sub>3</sub> bao gồm các phép quay 0°, 120° và 240° tác dụngđộng lên tập hợp ba đỉnh.]]
Trong [[toán học]], '''một tác dụngđộng nhóm''' trên một [[không gian]] là phép [[đồng cấu nhóm]] của một [[Nhóm (toán học)|nhóm]] thành nhóm các phép biến đổi của không gian. Tương tự, một tác dụngđộng nhóm trên một [[Cấu trúc (toán học)|cấu trúc toán học]] là một phép đồng cấu nhóm của một nhóm vào [[Nhóm tự động hóa|nhóm tự đồng cấu]] của cấu trúc. Người ta nói rằng nhóm đó ''tác dụngđộng'' lên không gian hoặc cấu trúc. Nếu một nhóm tác dụngđộng lên một cấu trúc nào đó, nó thường cũng sẽ tác dụngđộng lên các đối tượng được xây dựng từ cấu trúc đó. Lấy ví dụ như, nhóm các [[đối xứng]] của một khối [[đa diện]] tác dụngđộng lên các [[Đỉnh (hình học)|đỉnh]], các [[Cạnh (hình học)|cạnh]] và các [[Mặt (hình học)|mặt]] của khối đa diện đó.
 
Tác dụngđộng nhóm trên [[không gian vectơ]] (hữu hạn chiều) được gọi là [[biểu diễn nhóm]]. Nó cho phép người ta xác định nhiều nhóm là các nhóm con của {{Math|[[Nhóm tuyến tính tổng quát|GL(''n'', ''K'')]]}}, nhóm các [[ma trận khả nghịch]] bậc {{Mvar|n}} trên [[Trường (đại số)|trường]] {{Mvar|K}}.
[[Tập tin:Group_action_on_equilateral_triangle.svg|phải|nhỏ| Cho một [[tam giác đều]] [[Quay|, phép quay]] ngược chiều kim đồng hồ một góc 120° quanh tâm của tam giác sẽ ánh xạ mọi đỉnh của tam giác với một đỉnh khác. Nhóm [[Nhóm cyclic|tuần hoàn]] ''C''<sub>3</sub> bao gồm các phép quay 0°, 120° và 240° tác dụng lên tập hợp ba đỉnh.]]
Trong [[toán học]], '''một tác dụng nhóm''' trên một [[không gian]] là phép [[đồng cấu nhóm]] của một [[Nhóm (toán học)|nhóm]] thành nhóm các phép biến đổi của không gian. Tương tự, một tác dụng nhóm trên một [[Cấu trúc (toán học)|cấu trúc toán học]] là một phép đồng cấu nhóm của một nhóm vào [[Nhóm tự động hóa|nhóm tự đồng cấu]] của cấu trúc. Người ta nói rằng nhóm đó ''tác dụng'' lên không gian hoặc cấu trúc. Nếu một nhóm tác dụng lên một cấu trúc nào đó, nó thường cũng sẽ tác dụng lên các đối tượng được xây dựng từ cấu trúc đó. Lấy ví dụ như, nhóm các [[đối xứng]] của một khối [[đa diện]] tác dụng lên các [[Đỉnh (hình học)|đỉnh]], các [[Cạnh (hình học)|cạnh]] và các [[Mặt (hình học)|mặt]] của khối đa diện đó.
 
Tác dụng nhóm trên [[không gian vectơ]] (hữu hạn chiều) được gọi là [[biểu diễn nhóm]]. Nó cho phép người ta xác định nhiều nhóm là các nhóm con của {{Math|[[Nhóm tuyến tính tổng quát|GL(''n'', ''K'')]]}}, nhóm các [[ma trận khả nghịch]] bậc {{Mvar|n}} trên [[Trường (đại số)|trường]] {{Mvar|K}}.
 
== Định nghĩa ==
 
=== Tác dụng nhómđộng trái ===
Nếu {{Mvar|G}} là một [[Nhóm (toán học)|nhóm]] với phần tử đơn vị {{Mvar|e}} và {{Mvar|X}} là một tập hợp, thì một ''hànhtác động trái của nhóm'' {{Mvar|&alpha;}} ''(bên trái'') của {{Mvar|G}} trên {{Mvar|X}} là một hàm
 
: <math>\alpha\colon G \times X \to X,</math>
 
(với {{Math|''&alpha;''(''g'', ''x'')}} thường được rút ngắn thành {{Math|''gx''}} hoặc {{Math|''g'' &sdot; ''x''}} khi tác dụngđộng đang được xem xét đã được biết trước)
 
thỏa mãn hai tiên đề sau: <ref>{{Chú thích sách|url={{Google books|plainurl=y|id=jozIZ0qrkk8C|page=144|text=group action}}|title=A Course on Abstract Algebra|last=Eie & Chang|year=2010|page=144}}</ref>
với mọi {{Mvar|g}} và {{Mvar|h}} thuộc {{Mvar|G}} và mọi {{Mvar|x}} thuộc {{Mvar|X}}
 
Nhóm {{Mvar|G}} được gọi là tác dụngđộng lên tập {{Mvar|X}} (từ trái qua). Tập hợp {{Mvar|X}} cùng với một tác dụngđộng của {{Mvar|G}} được gọi là ''tập'' {{Mvar|G}} ''(bên trái'').
 
Từ hai tiên đề này, Dễdễ nhận thấy rằng cho bất kỳ {{Mvar|g}} cố định trong {{Mvar|G}}, hàm từ {{Mvar|X}} vào chính nó là ánh xạ {{Mvar|x}} tới {{Math|''g'' &sdot; ''x''}} là một song ánh, với ánh xạ ngược tương ứng cho {{Math|''g''<sup>&minus;1</sup>}} .Do đó, người ta có thể định nghĩa một cách tương đương một tác dụngđộng nhóm của {{Mvar|G}} trên {{Mvar|X}} như một phép đồng cấu nhóm từ {{Mvar|G}} thành nhóm đối xứng {{Math|Sym(''X'')}} của tất cả các song ánh từ {{Mvar|X}} với chính nó. <ref>This is done, for example, by {{Chú thích sách|url={{Google books|plainurl=y|id=PQUAQh04lrUC|page=253|text=group action}}|title=Introduction to abstract algebra|last=Smith|year=2008|page=253}}</ref>
 
=== Tác dụng nhómđộng phải ===
TuơngTương tự như vậy, tác dụng nhómđộng phải của nhóm {{mvar|G}} tác dụngđộng lên tập {{mvar|X}} là một hàm
 
: <math>\alpha\colon X \times G \to X,</math>
|}
 
với mọi {{Mvar|g}} và {{Mvar|h}} thuộc {{Mvar|G}} và mọi {{Mvar|x}} thuộc {{Mvar|X}}.
 
== Tham khảo ==
295

lần sửa đổi