Wikipedia

Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Ma trận (toán học)”

Duyệt lịch sử tương tác
← Thay đổi trướcThay đổi sau →
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Trực quanMã wiki
nKhông có tóm lược sửa đổi
Không có tóm lược sửa đổi
Dòng 62:
 
Sự khởi đầu của [[cơ học ma trận]] do các nhà vật lý [[Werner Heisenberg|Heisenberg]], [[Max Born|Born]] và [[Pascual Jordan|Jordan]] nêu ra đã dẫn tới nghiên cứu về ma trận có vô hạn hàng và cột.<ref>{{Harvard citations |last1=Mehra |last2=Rechenberg |year=1987 |nb=yes }}</ref> Later, [[John von Neumann|von Neumann]] đã thiết lập lên [[phát biểu toán học của cơ học lượng tử]], bằng cách phát triển xa hơn các khái niệm của [[giải tích hàm]] như [[biến đổi tuyến tính|toán tử tuyến tính]] trong [[không gian Hilbert]], mà, nói sơ lược, tương ứng với [[không gian Euclide]], nhưng có vô hạn hướng độc lập.
 
===Lịch sử việc sử dụng từ "ma trận" trong toán học===
Từ này đã được sử dụng theo những cách khác thường bởi ít nhất hai tác giả có tầm quan trọng trong lịch sử [[Bertrand Russell]] và [[Alfred North Whitehead]] trong cuốn ''Principia Mathematica'' (1910–1913) sử dụng từ "ma trận" trong ngữ cảnh [[tiên đề về khả năng rút gọn]]. [[Alfred Tarski]] trong cuốn sách ''Introduction to Logic'' năm 1946 của ông đã sử dụng từ "ma trận" đồng nghĩa với khái niệm [[bảng chân trị]] như được sử dụng trong logic toán học.<ref>Tarski, Alfred; (1946) ''Introduction to Logic and the Methodology of Deductive Sciences'', Dover Publications, Inc, New York NY, {{ISBN|0-486-28462-X}}.</ref>
 
==Ký hiệu==
Hàng 83 ⟶ 86:
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{array} \right)=\left(a_{ij}\right) \in \mathbb{R}^{m \times n}.
</math>
 
Hàng 107 ⟶ 110:
Một số ngôn ngữ lập trình sử dụng cách viết những mảng có hai chỉ số (hay mảng của mảng) để biểu diễn ma trận ''m''-×-''n''. Một số ngôn ngữ lập trình bắt đầu ma trận bằng cách đánh số chỉ số của mảng tại 0, như trong trường hợp mảng ''m''-×-''n'' được đánh số bằng {{nowrap|0 ≤ ''i'' ≤ ''m'' − 1}} và {{nowrap|0 ≤ ''j'' ≤ ''n'' − 1}}.<ref>{{Harvard citations |last1=Oualline |year=2003 |loc=Ch. 5| nb=yes }}</ref> Bài viết này tuân theo cách quy ước thường gặp trong toán học với chỉ số bắt đầu bằng 1.
 
Dấu hoa thị đôi khi được sử dụng để chỉ toàn bộ các hàng hoặc cột trong ma trận. Ví dụ, ''a''{{sub|''i'',∗}} để chỉ hàng thứ ''i'' của ma trận '''A''', và ''a''{{sub|∗,''j''}} để chỉ cột thứ ''j'' của ma trận '''A'''. Tập hợp mọi ma trận dạng ''m''-×-''n'' ký hiệu là <math>\mathbb{M}(m, n),</math> hoặc <math>\mathbb{R}^{m \times n}</math> cho mọi ma trận.
Tập hợp mọi ma trận dạng ''m''-×-''n'' ký hiệu là 𝕄(''m'', ''n'').
 
==Các phép toán cơ bản==
Hàng 291 ⟶ 294:
{{chính|Phương trình tuyến tính|Hệ phương trình tuyến tính}}
Ma trận được dùng để viết gọn và nghiên cứu phương trình tuyến tính cũng như hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ, nếu '''A''' là một ma trận ''m''x''n'', '''x''' là vectơ cột (ma trận ''n''×1) của ''n'' biến ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>,..., ''x''<sub>''n''</sub>, và '''b''' là một vectơ cột ''m''×1, thì phương trình ma trận
:<math>\mathbf{Ax} = \mathbf{b}</math>
:'''Ax''' = '''b'''
là tương đương với hệ phương trình tuyến tính<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=I.2.21 and 22 }}</ref>
:<math>\begin{align}
:''A''<sub>1,1</sub>''x''<sub>1</sub> + ''A''<sub>1,2</sub>''x''<sub>2</sub> +... + ''A''<sub>1,''n''</sub>''x''<sub>''n''</sub> = ''b''<sub>1</sub>
a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + &\cdots + a_{1,n}x_n = b_1 \\
:...
&\ \ \vdots \\
:''A''<sub>''m'',1</sub>''x''<sub>1</sub> + ''A''<sub>''m'',2</sub>''x''<sub>2</sub> +... + ''A''<sub>''m'',''n''</sub>''x''<sub>''n''</sub> = ''b''<sub>''m''</sub>.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=I.2.21 and 22 }}</ref>
a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 + &\cdots + a_{m,n}x_n = b_m
\end{align}</math>
 
Khi sử dụng ma trận, cách viết này có thể được giải quyết gọn gàng hơn thay vì cách viết ra tất cả các phương trình riêng biệt. Nếu ''n'' = ''m'' và các phương trình là [[Phương trình độc lập|độc lập]] khi đó để giải quyết bài toán này ta viết
:<math>\mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{b}</math>
 
trong đó '''A'''{{sup|−1}} là [[ma trận khả nghịch]] của '''A'''. Nếu '''A''' không nghịch đảo, các giải pháp — nếu có — có thể được áp dụng bằng cách sử dụng [[giả nghịch đảo]].
 
==Biến đổi tuyến tính==
Hàng 381 ⟶ 391:
|}
 
==== Ma trận tam giác và ma trận đường chéo ====
Nếu mọi phần tử của '''A''' ở bên dưới đường chéo chính bằng 0, thì '''A''' được gọi là ''[[ma trận tam giác]] trên''. Tương tự, nếu mọi phần tử của ''A'' ở bên trên đường chéo chính bằng 0, thì '''A''' được gọi là ''ma trận tam giác dưới''. Nếu mọi phần tử nằm bên ngoài đường chéo chính đều bằng 0, thì '''A''' được gọi là [[ma trận đường chéo]].
 
==== Ma trận đơn vị ====
[[Ma trận đơn vị]] '''I'''<sub>''n''</sub> có số chiều ''n'' là một ma trận ''n''x''n'' trong đó mọi phần tử trên đường chéo chính bằng 1 và tất cả những phần tử khác đều bằng 0, ví dụ
:<math>
I_1\mathbf{I}_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix},
I_2\ \mathbf{I}_2 = \begin{bmatrix}▼
,\
1 & 0 \\▼
▲I_2 = \begin{bmatrix}
0 & 1
▲ 1 & 0 \\
\end{bmatrix},▼
0 & 1 ▼
\ \ldots ,
▲ \end{bmatrix}
I_n\ \mathbf{I}_n = \begin{bmatrix}▼
,\ \cdots,\
▲ 1 & 0 & 1\cdots & 0 \\
▲I_n = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 1 & \cdots & 0 \\
0\vdots & 1\vdots & \cdotsddots & 0\vdots \\
0 & \vdots & \vdots 0 & \ddotscdots & \vdots \\1
\end{bmatrix}▼
0 & 0 & \cdots & 1
▲ \end{bmatrix}
</math>
Nó là một ma trận vuông bậc ''n'', và cũng là trường hợp đặc biệt của ma trận đường chéo. Nó được gọi là ma trận đơn vị bởi vì khi thực hiện nhân một ma trận với nó thì vẫn thu được kết quả của chính ma trận đó:
:{{nowrap begin}}'''AI'''<sub>''n''</sub> = '''I'''<sub>''m''</sub>'''A''' = '''A'''{{nowrap end}} với ma trận '''A''' bất kỳ ''m''x''n''.
 
Một bội số vô hướng khác không của ma trận đơn vị được gọi là ma trận ''vô hướng'' (''scalar'' matrix). Nếu các mục nhập ma trận đến từ một trường thì ma trận vô hướng tạo thành một nhóm, dưới phép nhân ma trận, là đẳng cấu với nhóm nhân các phần tử khác không của trường.
 
====Ma trận đối xứng hoặc đối xứng lệch====
Hàng 451 ⟶ 462:
==== Ma trận trực giao ====
''Ma trận trực giao'' là ma trận vuông với các phần tử [[số thực|thực]] sao cho các cột và hàng là những [[vectơ đơn vị]] [[trực giao]] (nghĩa là vectơ [[trực chuẩn]]). Hay nói tương đương, ma trận ''A'' trực giao nếu và chỉ nếu ma trận chuyển vị của nó bằng ma trận nghịch đảo của nó:
:<math>\mathbf{A}^\mathrm{T}=\mathbf{A}^{-1}, \,</math>
mà
:<math>\mathbf{A}^\mathrm{T} \mathbf{A} = \mathbf{A} \mathbf{A}^\mathrm{T} = I, \mathbf{I}_n,</math>
với '''I'''{{sub|''n''}} là ma trận đơn vị.
 
Ma trận trực giao '''A''' cần thiết phải khả nghịch (do định nghĩa {{nowrap|1='''A''<'{{sup>|&minus;1</sup>}} = '''A''<'{{sup>|T</sup>}}}}), [[ma trận unita|unita]] ({{nowrap|1='''A''<'{{sup>|&minus;1</sup>}} = '''A'''*}}), và [[ma trận chuẩn tắc|chuẩn tắc]] ({{nowrap|1='''A'''*'''A''' = '''AA'''*}}). [[Định thức]] của ma trận trực giao bất kỳ luôn bằng {{math|+1}} hoặc {{math|−1}}. ''Ma trận trực giao đặc biệt'' là ma trận có định thức bằng {{math|+1}}. Đối với một biến đổi tuyến tính, mỗi ma trận trực giao đặcvới biệtđịnh thức bằng {{math|+1}} là một [[Phép quay (toán học)|phép quay]] thuần túy chínhkhông có phản chiếu, tức là, phép quaybiến đổi bảo toàn định hướng của cấu trúc đã biến đổi, trong khi mỗi ma trận trực giao có định thức bằng {{math|-1 thuần túy}} là phép phản xạ thuần túy hoặc là tổ hợp của phép phản xạ và phép quay. Ma trận đơn vị có định thức bằng {{math|1}} và là phép quay thuần túy theo một góc bằng 0.
 
Sự tươngTương tự đối với ma trận[[số phức]] của ma trận trực giao là một [[ma trận unita]].
 
===Các tính toán chủ yếu===
Hàng 465 ⟶ 477:
: tr('''AB''') = tr('''BA''').
Điều này có thể rút ngay ra được từ định nghĩa nhân hai ma trận:
:<math>\scriptstyle\operatorname{tr}(\mathsfmathbf{AB}) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n A_a_{ij} B_b_{ji} = \operatorname{tr}(\mathsfmathbf{BA}).</math>
Theo đó, vết của kết quả của nhiều hơn hai ma trận là độc lập với [[hoán vị vòng]] của các ma trận, tuy nhiên, điều này nói chung không áp dụng cho các hoán vị tùy ý (ví dụ trong thực tế, tr('''ABC''') ≠ tr('''BAC''')). Ngoài ra, vết của ma trận bằng vết của ma trận chuyển vị, hay
:{{nowrap begin}}tr('''A''') = tr('''A'''<{{sup>|T</sup>}}){{nowrap end}}.
 
====Định thức====
Hàng 473 ⟶ 485:
[[Tập tin:Determinant example.svg|nhỏ|300px|phải|Biến đổi tuyến tính trên '''R'''<sup>2</sup> cho bởi ma trận trong ngoặc. Định thức của ma trận này bằng −1, và ý nghĩa hình học của phép biến đổi tuyến tính này đó là diện tích của hình bình hành màu lục ở bên phải vẫn bằng 1, nhưng ánh xạ đã đảo hướng nó, do nó chuyển hướng theo chiều ngược kim đồng hồ của vectơ thành theo chiều kim đồng hồ.]]
 
''Định thức'' của ma trận vuông (ký hiệu là det('''A''') hay |'''A'''| của ma trận vuông '''A''') là một số chứa đựng những tính chất nhất định của ma trận này. Ma trận là khả nghịch [[nếu và chỉ nếu]] định thức của nó khác 0. [[Giá trị tuyệt đối]] của định thức ma trận trực giao bằng diện tích (trong '''R'''<sup>2</sup>) hoặc thể tích (trong '''R'''<sup>3</sup>) của ảnh của hình vuông đơn vị (hay hình lập phương đơn vị), trong khi dấu của nó tương ứng với hướng của ánh xạ tuyến tính tương ứng: định thức là dương nếu và chỉ nếu hướng được bảo toàn.
 
Định thức của ma trận 2 x 2 cho bởi công thức
Hàng 481 ⟶ 493:
Định thức của tích hai ma trận vuông bằng tích các định thức ma trận:
:{{nowrap begin}}det('''AB''') = det('''A''') • det('''B''').<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Theorem III.2.12 }}</ref>{{nowrap end}}
 
Khi cộng bội một số lần của một hàng bất kỳ vào một hàng khác, hoặc cộng bội một số lần của một cột bất kỳ vào một cột khác, sẽ không làm thay đổi định thức. Hoán vị hai hàng hoặc hai cột làm ảnh hưởng tới định thức bằng cách nhân nó với −1.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Corollary III.2.16 }}</ref> Sử dụng những quy tắc này, ma trận vuông bất kỳ có thể chuyển thành một ma trận [[tam giác]] dưới (hoặc trên), mà đối với các ma trận [[tam giác]], định thức của nó bằng tích của các phần tử trên đường chéo chính; phương pháp này mang lại một cách tính định thức của ma trận vuông bất kỳ.
 
Hàng 497 ⟶ 510:
 
====Ma trận nghịch đảo====
Ma trận nghịch đảo '''A'''<sup>−1</sup> chỉ tồn tại khi và chỉ khi |'''A'''| ǂ≠ 0. Công thức tính ma trận nghịch đảo như sau:
 
:<math>A^{-1}=\frac 1{|A|}adj A</math>
Hàng 511 ⟶ 524:
{{chính|Giá trị riêng và vectơ riêng}}
Một số λ và một vectơ khác 0 '''v''' thỏa mãn
:'''<math>Av''' = λ'''\lambda v'''</math>
được gọi lần lượt là ''giá trị riêng'' và ''vectơ riêng'' của '''A'''.<ref group="nb">''Eigen'' có nghĩa là "riêng" trong [[tiếng Đức]] và [[tiếng Hà Lan]].</ref><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.4.1 }}</ref> Số λ là một trị riêng của một ma trận ''n''×''n'' '''A''' nếu và chỉ nếu '''A'''−λ'''I'''<sub>''n''</sub> là không khả nghịch, mà tương đương với
:<math>\det(\mathsfmathbf{A}-\lambda \mathsfmathbf{I}) = 0.\ </math><ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Definition III.4.9 }}</ref>
Đa thức ''p''<sub>'''A'''</sub> trong biến vô định (indeterminate variable) ''X'' cho bằng cách khai triển định thức det(''X'''''I'''<sub>''n''</sub>−'''A''') được gọi là [[Đa thức đặc trưng (đại số tuyến tính)|đa thức đặc trưng]] của '''A'''. Nó là một [[đa thức lồi]] (monic polynomial) có [[bậc của đa thức|bậc]] ''n''. Do vậy phương trình đa thức ''p''<sub>'''A'''</sub>(λ)&nbsp;=&nbsp;0 có nhiều nhất ''n'' nghiệm khác nhau, hay là các giá trị riêng của ma trận.<ref>{{Harvard citations |last1=Brown |year=1991 |nb=yes |loc=Corollary III.4.10 }}</ref> Chúng có thể nhận giá trị phức ngay cả khi các phần tử trong '''A''' là thực. Theo [[định lý Cayley–Hamilton]], {{nowrap begin}}''p''<sub>'''A'''</sub>('''A''') = '''0'''{{nowrap end}}, tức là, kết quả của sự thay thế chính ma trận vào đa thức đặc trưng của chính nó sẽ thu được [[ma trận rỗng]].
 
Hàng 526 ⟶ 539:
 
Nói một cách sơ lược, một thuật toán được gọi là ổn định bằng số (numerically stable), nếu những độ lệch nhỏ trong giá trị đưa vào không dẫn tới sự thay đổi lớn trong kết quả của chúng. Ví dụ, khi tính nghịch đảo của ma trận thông qua [[công thức Laplace]] (Adj ('''A''') ký hiệu cho [[ma trận phụ hợp]] của '''A''')
:'''A'''<sup>−1</sup> = Adjadj('''A''') / det('''A''')
có thể dẫn tới sai số lớn do làm tròn nếu định thức của ma trận rất nhỏ. Ma trận chuẩn tắc (norm matrix) được ứng dụng để nắm bắt điều kiện của những vấn đề đại số tuyến tính, như tính ma trận nghịch đảo.<ref>{{Harvard citations |last1=Golub |last2=Van Loan |year=1996 |nb=yes |loc=Chapter 2.3 }}</ref>
 
Hầu hết các [[ngôn ngữ lập trình|ngôn ngữ máy]] máy tính hỗ trợ mảng nhưng không được thiết kế với nhữngcác lệnh vàcài sẵn cho ma trận. Thay vào đó, các thư viện dànhbên chongoài có sẵn cung cấp các phép toán ma trận trên mảng, trong gần như vàotất cả các ngôn ngữ lập trình được sử dụng hiện nay. Thao tác ma trận là một trong những ứng dụng số sớm nhất của máy tính.<ref>{{Cite journal|last=Grcar|first=Joseph F.|date=2011-01-01|title=John von Neumann's Analysis of Gaussian Elimination and the Origins of Modern Numerical Analysis|url=https://epubs.siam.org/doi/10.1137/080734716|journal=SIAM Review|volume=53|issue=4|pages=607–682|doi=10.1137/080734716|issn=0036-1445}}</ref> [[Dartmouth BASIC]] ban đầu thậpcó các lệnh tích hợp cho phép số học ma trận trên mảng từ việc triển khai [[Dartmouth BASIC#Thế hệ thứ 2, CARDBASIC|thế hệ thứ 2]] vào năm 1964. Ngay từ những niênnăm 1970, một số máy tính để bàn kỹ thuật như [[HP 9830]] có [[HP 9800 series#Lập trình|hộp ROM (ROM cartridges) để cho thêm các lệnh BASIC đối với ma trận]]. Một số ngôn ngữ máy tính như [[APL (ngôn ngữlậpngữ lập trình)|APL]] được thiết kế để thựcthao hiệntác các phép toán vềvới ma trận, và nhiều[[danh sách phần mềm phân tích số|các chương trình phần mềm toán học khác nhau]] có thể được sử dụng để hỗ trợ các tính toán liên quan tớivới ma trận.<ref>VíFor dụexample, [[Mathematica]], xemsee {{Harvard citations |last1=Wolfram |year=2003 |loc=Ch. 3.7 |nb=yes }}</ref>
 
==Phân tích ma trận==
Hàng 538 ⟶ 551:
 
[[Tập tin:Jordan blocks.svg|phải|nhỏ|250px|Ví dụng về ma trận trong dạng chuẩn tắc Jordan. Những khối xám mà được gọi là những khối Jordan.]]
Phân tích ma trận thành ma trận chỉ có các phần tử là các giá trị riêng (eigendecomposition) hay ''chéo hóa'' biểu diễn '''A''' thành tích '''VDV'''<sup>−1</sup>, với '''D''' là ma trận đường chéo và '''V''' là một ma trận khả nghịch phù hợp.<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Theorem 2.5.4 }}</ref> Nếu '''A''' được viết theo dạng này, nó được gọi là ma trận chéo hóa được (diagonalizable matrix). Tổng quát hơn, và áp dụng đối với mọi ma trận, phép phân tích Jordan biến đổi ma trận thành dạng chuẩn tắc Jordan (Jordan normal form), để đưa các ma trận về dạng mà chỉ những phần tử khác 0 là các giá trị riêng λ<sub>1</sub> đến λ<sub>n</sub> của '''A''', nằm trên đường chéo chính và có thể có các phần tử nằm bên trên đường chéo chính đều bằng 1 như chỉ ra ở hình bên.<ref>{{Harvard citations |last1=Horn |last2=Johnson |year=1985 |nb=yes |loc=Ch. 3.1, 3.2 }}</ref> Dựa theo kỹ thuật phân tích ma trận theo giá trị riêng, lũy thừa bậc ''n'' của '''A''' (tức là thực hiện nhân ma trận '''A''' với chính nó n lần) sẽ được tính toán thông qua
:'''A'''<sup>''n''</sup> = ('''VDV'''<sup>−1</sup>)<sup>''n''</sup> = '''VDV'''<sup>−1</sup>'''VDV'''<sup>−1</sup>...'''VDV'''<sup>−1</sup> = '''VD'''<sup>''n''</sup>'''V'''<sup>−1</sup>
và lũy thừa của ma trận đường chéo được tính trực tiếp khi lấy lũy thừa của các phần tử nằm trên đường chéo chính, mà cách này dễ dàng hơn rất nhiều khi thực hiện từng lần nhân với '''A'''. Phương pháp này còn được ứng dụng để tính lũy thừa ma trận (matrix exponential) ''e''<sup>'''A'''</sup>, do nó xuất hiện thường xuyên trong lúc giải [[phương trình vi phân tuyến tính]], logarit của ma trận (matrix logarithm) và căn bậc hai của ma trận (square root of a matrix).<ref>{{Harvard citations |last1=Arnold |last2=Cooke |year=1992 |nb=yes |loc=Sections 14.5, 7, 8 }}</ref> Để tránh trường hợp sai số lớn khi thay đổi dữ liệu số đầu vào (condition number), các nhà toán học nêu những thuật toán tốt hơn như [[phân tích Schur]] sẽ được ứng dụng.<ref>{{Harvard citations |last1=Bronson |year=1989 |nb=yes |loc=Ch. 15 }}</ref>
 
==Khía cạnh đại số trừu tượng và tổng quát hóa==
Các nhà toán học đã tổng quát hóa ma trận theo một số cách khác nhau. Đại số trừu tượng sử dụng ma trận với các phần tử là những dạng tổng quát hơn như là [[trường (đại số)|trường]] hay thậm chí là [[vành]], trong khi đại số tuyến tính mã hóa các tính chất của ma trận thành khái niệm các ánh xạ tuyến tính. Có thể coi ma trận với vô số hàng và cột. Sự mở rộng khác đó là [[tenxơ]], mà có thể coi như những mảng nhiều chiều chứa các phần tử số, khi nó khác với vectơ ở chỗ vectơ là dãy các số, thì ma trận là mảng hai chiều chứa các số.<ref>{{Harvard citations |last1=Coburn |year=1955 |nb=yes |loc=Ch. V }}</ref> Ma trận với những tính chất đòi hỏi nhất định có xu hướng tạo thành [[nhóm (toán học)|nhóm]] gọi là nhóm ma trận. Tương tự trong những điều kiện nhất định, ma trận dạng [[Vành|vành]] được gọi là [[vành ma trận]]. Mặc dù tích của ma trận nói chung không giao hoán nhưng ma trận nhất định có dạng [[trường (đại số)|trường]] được gọi là [[trường ma trận]].
 
===Ma trận với các phần tử mở rộng===
Bài này viết chủ yếu về ma trận mà các phần tử là [[số thực]] hoặc [[số phức]].<cite id="more_general_entries">Tuy nhiên có thể coi ma trận với phần tử tổng quát hơn số thực hoặc số phức.</cite> Bước đầu tiên trong việc tổng quát hóa, bất kỳ trường toán học nào, tức là các [[tập hợp]] có thể thực hiện được [[phép cộng]], [[phép trừ]], [[phép nhân]] và [[phép chia]] được xác định, có thể được sử dụng thay cho <math>\mathbb{'''R}</math>''' hoặc <math>\mathbb{'''C}</math>''', như [[số hữu tỉ]] hoặc [[trường hữu hạn]]. Ví dụ, [[lý thuyết mã hóa]] sử dụng ma trận trên các trường hữu hạn. Khi xét tới trị riêng, mà chúng là những nghiệm của một đa thức mà chỉ có thể tồn tại trong một trường lớn hơn trường của các phần tử của ma trận; chẳng hạn chúng có thể là phức trong trường hợp ma trận với các phần tử thực. Khả năng để giải thích lại các phần tử của ma trận như là các phần tử của một trường lớn hơn (ví dụ để coi một ma trận thực như là một ma trận phức khi các phần tử của nó đều là thực) sẽ cho phép mỗi ma trận vuông có một tập đầy đủ các giá trị riêng của nó. Nói cách khác ta chỉ có thể coi ma trận với các phần tử thuộc một [[trường đóng đại số]], như <math>\mathbb{'''C}</math>''', từ một tập hợp ngoài.
 
Tổng quát hơn, ngành đại số trừu tượng sử dụng nhiều khái niệm ma trận với các phần tử thuộc một [[vành]] ''R''.<ref>{{Harvard citations |last1=Lang |year=2002 |nb=yes |loc=Chapter XIII }}</ref> Vành là những khái niệm tổng quát hơn khái niệm trường mà trong nó không nhất thiết phải có phép chia. Phép cộng và phép nhân ma trận cũng được mở rộng ra cho tính chất này. Tập hợp M(''n'', ''R'') của mọi ma trận vuông ''n'' x ''n'' trên ''R'' là một vành gọi là [[vành ma trận]], đẳng cấu vào [[vành tự đồng cấu]] của ''R''-[[mô đun (toán học)|mô đun]] ''R''<sup>''n''</sup> bên trái.<ref>{{Harvard citations |last1=Lang |year=2002 |nb=yes |loc=XVII.1, p. 643 }}</ref> Nếu vành ''R'' là [[vành giao hoán|giao hoán]], nghĩa là phép nhân của nó có tính giao hoán, thì M(''n'', ''R'') là một [[đại số kết hợp]] (associative algebra) không giao hoán unita (trừ khi ''n'' = 1) trên ''R''. Định thức của ma trận vuông trên một vành giao hoán ''R'' vẫn xác định nhờ sử dụng công thức Leibniz; ma trận là khả nghịch nếu và chỉ nếu định thức của nó là khả nghịch trong ''R'', được tổng quát lên đối với trường ''F'', nơi mà mọi phần tử khác 0 là khả nghịch.<ref>{{Harvard citations |last1=Lang |year=2002 |nb=yes |loc=Proposition XIII.4.16 }}</ref> Ma trận trên một siêu vành (superring) được gọi là siêu ma trận (supermatrix).<ref>{{Harvard citations |last1=Reichl |year=2004 |nb=yes |loc=Section L.2 }}</ref>
Hàng 570 ⟶ 583:
 
Mỗi [[nhóm hữu hạn]] là [[phép đẳng cấu]] vào một nhóm ma trận, mà chúng ta có thể coi là [[biểu diễn chính quy]] của [[nhóm đối xứng]].<ref>{{Harvard citations |last1=Rowen |year=2008 |loc=Example 19.2, p. 198 |nb=yes }}</ref> Nhóm tổng quát có thể được nghiên cứu thông qua nhóm ma trận, mà các nhà đại số đã hiểu khá tốt về chúng, thông qua [[lý thuyết biểu diễn]].<ref>Xem các giáo trình về lý thuyết biểu diễn hoặc [[biểu diễn nhóm]].</ref>
 
===Ma trận vô hạn===
Cũng có thể coi ma trận có vô số hàng và/hoặc cột<ref>Xem phần "Ma trận" trong {{Harvard citations |editor1-last=Itõ |year=1987 |nb=yes}}</ref> ngay cả khi là các đối tượng vô hạn, người ta không thể viết ra các ma trận như vậy một cách rõ ràng. Tất cả những gì quan trọng là đối với mọi phần tử trong các hàng tập chỉ mục và mọi phần tử trong các cột tập chỉ mục đều có một mục nhập được xác định rõ ràng (các tập chỉ mục này thậm chí không cần phải là tập con của các số tự nhiên). Các phép toán cơ bản của cộng, trừ, nhân vô hướng và chuyển vị vẫn có thể được xác định mà không gặp vấn đề gì; tuy nhiên phép nhân ma trận có thể liên quan đến các phép tổng vô hạn để xác định các mục nhập kết quả và chúng không được định nghĩa nói chung.
 
Nếu ''R'' là bất kỳ vành nào có sự thống nhất, sau đó là vành của các biến thể <math>M=\bigoplus_{i\in I}R</math> như một mô-đun bên phải ''R'' là đẳng cấu với vòng của '''ma trận hữu hạn cột''' <math>\mathbb{CFM}_I(R)</math> có mục nhập được chỉ mục bởi <math>I\times I</math> và mỗi cột chỉ có hữu hạn mục nhập khác 0. Các tự đồng cấu của ''M'' được coi là kết quả mô-đun ''R'' bên trái trong một đối tượng tương tự, '''ma trận hữu hạn hàng''' <math>\mathbb{RFM}_I(R)</math> mà mỗi hàng chỉ có hữu hạn mục nhập khác 0.
 
Nếu ma trận vô hạn được sử dụng để mô tả bản đồ tuyến tính thì chỉ những ma trận đó mới có thể được sử dụng cho tất cả các cột của chúng có trừ một số hữu hạn các mục nhập khác 0, vì lý do sau. Đối với ma trận '''A''' để mô tả ánh xạ tuyến tính ''f'': ''V''→''W'', căn cứ cho cả hai không gian phải được chọn; nhớ lại rằng theo định nghĩa, điều này có nghĩa là mọi vectơ trong không gian có thể được viết duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) của các vectơ cơ sở, do đó được viết dưới dạng vectơ (cột) {{nbsp}}''v'' của [[hệ số]], chỉ có hữu hạn mục nhập''v''{{sub|''i''}} là số khác 0. Bây giờ các cột của '''A''' mô tả hình ảnh bằng ''f'' của các vectơ cơ sở riêng lẻ của ''V'' trong cơ sở của ''W'', điều này chỉ có ý nghĩa nếu các cột này chỉ có hữu hạn nhiều mục khác. Tuy nhiên, không có hạn chế đối với các hàng của ''A'': trong kết quả '''A'''·''v'' chỉ có hữu hạn hệ số khác 0 của ''v'' có liên quan, vì vậy mỗi một trong số các mục nhập của nó, ngay cả khi nó được cho dưới dạng tổng vô hạn của các tích, chỉ liên quan đến rất nhiều số hạng khác nhau và do đó được xác định rõ ràng. Hơn nữa, điều này dẫn đến việc hình thành một tổ hợp tuyến tính của các cột '''A''' mà chỉ liên quan đến hữu hạn trong số chúng một cách hiệu quả, trong khi kết quả chỉ có hữu hạn mục nhập khác 0 vì mỗi cột đó đều có. Kết quả của hai ma trận thuộc loại đã cho được xác định rõ ràng (với điều kiện là bộ chỉ mục cột và chỉ số hàng khớp với nhau), có cùng kiểu và tương ứng với thành phần của bản đồ tuyến tính.
 
Nếu ''R'' là [[vành định mức]] thì điều kiện về tính hữu hạn của hàng hoặc cột có thể được nới lỏng. Với quy chuẩn được đưa ra, [[chuỗi hoàn toàn hội tụ]] có thể được sử dụng thay cho các tổng hữu hạn. Ví dụ, ma trận có tổng cột là chuỗi hội tụ tuyệt đối tạo thành một vành. Tương tự, các ma trận có tổng hàng là chuỗi hội tụ tuyệt đối cũng tạo thành một vành.
 
Ma trận vô hạn cũng có thể được sử dụng để mô tả [[Không gian Hilbert#Các toán tử bị chặn|toán tử trên không gian Hilbert]], nơi nảy sinh các câu hỏi hội tụ và [[Hàm liên tục|liên tục]], dẫn đến một số ràng buộc nhất định phải được áp đặt. Tuy nhiên, quan điểm rõ ràng về ma trận có xu hướng làm xáo trộn vấn đề,<ref>"Không có nhiều lý thuyết ma trận chuyển sang không gian vô hạn chiều và những gì không hữu ích, nhưng đôi khi lại hữu ích." {{Harvard citations |last1=Halmos |year=1982 |loc=p. 23, Chapter 5 |nb=yes}}</ref> và các công cụ trừu tượng và mạnh mẽ hơn của [[Giải tích hàm]] được sử dụng để thay thế.
 
===Ma trận rỗng===
Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/wiki/Ma_trận_(toán_học)”