Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Cơ học lượng tử”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Không có tóm lược sửa đổi |
Không có tóm lược sửa đổi |
||
Dòng 119:
Toán tử Hamilton <math>H</math> còn được coi là ''toán tử sinh'' của sự tiến triển theo thời gian, vì nó xác định một toán tử tiến triển theo thời gian unita <math>U(t) = e^{-iHt/\hbar}</math> đối với mỗi giá trị của <math>t</math>. Từ sự liên hệ giữa <math>U(t)</math> và <math>H</math>, bất kỳ một đại lượng quan sát được nào <math>A</math> mà giao hoán với <math>H</math> sẽ được ''bảo toàn'': giá trị kỳ vọng của nó sẽ không thay đổi theo thời gian. Phát biểu này được tổng quát hóa bằng toán học, rằng đối với bất kỳ một toán tử Hermit <math>A</math> có thể sinh một họ các toán tử unita được tham số hóa bởi biến <math>t</math>. Dưới sự tiến triển sinh bởi <math>A</math>, bất kỳ đại lượng quan sát được nào <math>B</math> mà giao hoán với <math>A</math> sẽ được bảo toàn. Hơn nữa, nếu <math>B</math> là bảo toàn trong sự tiến triển dưới <math>A</math>, thì <math>A</math> được bảo toàn dưới sự tiến triển sinh bởi <math>B</math>. Điều này hàm ý một phiên bản lượng tử của kết quả đã được chứng minh bởi nhà toán học [[Emmy Noether]] trong cơ học cổ điển ([[cơ học Lagrange|Lagrangian]]): đối với mỗi [[đối xứng (vật lý học)|đối xứng]] [[hàm số khả vi|khả vi]] của một toán tử Hamilton, tồn tại tương ứng một [[định luật bảo toàn]].
==Các ví dụ==
===Hạt tự do===
{{chính|Hạt tự do}}
[[Tập tin:Guassian Dispersion.gif|360 px|thumb|right|Mật độ xác suất không gian vị trí của một [[bó sóng]] (wave packet) chuyển động một chiều tự do trong không gian.]]
Dạng đơn giản nhất của hệ lượng tử với một bậc tự do vị trí đó là hạt tự do chuyển động trên đường thẳng. Một hạt tự do không chịu tác động từ bên ngoài, do vậy toán tử năng lượng Hamilton của nó chỉ bao gồm động năng:
:<math>H = \frac{1}{2m}P^2 = - \frac {\hbar ^2}{2m} \frac {d ^2}{dx^2}. </math>
Nghiệm tổng quát của phương trình Schrödinger cho bởi
:<math>\psi (x,t)=\frac {1}{\sqrt {2\pi }}\int _{-\infty}^\infty{\hat {\psi }}(k,0)e^{i(kx -\frac{\hbar k^2}{2m} t)}\mathrm{d}k,</math>
hay là sự chồng chập của tất cả các [[sóng phẳng]] khả dĩ <math>e^{i(kx -\frac{\hbar k^2}{2m} t)}</math>, và là các trạng thái riêng của toán tử xung lượng với xung lượng <math>p = \hbar k </math>. Các hệ số chồng chập là <math> \hat {\psi }(k,0) </math>, chính là biến đổi Fourier của trạng thái lượng tử ban đầu <math>\psi(x,0)</math>.
Không tồn tại nghiệm là một trạng thái riêng xung lượng riêng lẻ, hoặc trạng thái riêng vị trí riêng lẻ, vì các nghiệm này là những trạng thái lượng tử không chuẩn hóa được.{{refn|group=note|Một trạng thái riêng xung lượng sẽ là một sóng đơn sắc hoàn hảo mở rộng vô hạn, nhưng không bình phương khả tích được. Tương tự, một trạng thái riêng vị trí sẽ là [[hàm delta Dirac|phân bố delta Dirac]], không bình phương khả tích được và về mặt kỹ thuật không phải là một hàm sóng. Hệ quả là hai trạng thái riêng này không thuộc về không gian Hilbert của hạt. Các nhà vật lý thỉnh thoảng giới thiệu khái niệm giả "cơ sở" cho không gian Hilbert chứa các phần tử nằm ngoài không gian này. Chúng được đưa ra nhằm tạo thuận lợi trong việc tính toán và không biểu diễn một trạng thái vật lý nào.<ref name = "Cohen-Tannoudji"/>{{rp|100–105}}}} Thay vì thế, ta có thể xét một [[bó sóng]] Gauss:
:<math>\psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt[4]{\pi a}}e^{-\frac{x^2}{2a}} </math>
mà có biến đổi Fourier, và do vậy phân bố xung lượng
:<math>\hat \psi(k,0) = \sqrt[4]{\frac{a}{\pi}}e^{-\frac{a k^2}{2}}. </math>
== Hệ quả triết học của cơ học lượng tử ==
| |||