Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Logarit”

Từ thế kỷ 3 TCN, trong cuốn ''[[Người đếm cát]]'', [[Archimedes]] đã quan sát và đưa ra khái niệm rằng "bậc" của một số tương đương với số mũ của lũy thừa cơ số {{math|10⁸ {{=}} 100.000.000}}. Ông cũng nhắc đến [[quy tắc nhân]] hai số với nhau bằng cách cộng "bậc" của chúng lại với nhau. Nguyên lý này về sau là một cơ sở dẫn đến sự ra đời khái niệm logarit.<ref>{{citation|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye|title=A History of Mathematics|author1=Boyer|first=Carl B.|author2=Merzbach|first2=Uta C.|publisher=Wiley|year=1991|isbn=0-471-09763-2|edition=2nd|location=|page=[https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/125 125]|pages=|ref=harv}}</ref> Khoảng 1000 năm sau đó, [[Virasena]], một nhà toán học [[Kỳ Na giáo|Kỳ Na]] người [[Ấn Độ]], tìm ra khái niệm ''ardhacheda'': số lần một số có thể chia hết cho 2. Với lũy thừa của 2, đó chính là giá trị nguyên của logarit cơ số 2, còn đối với các số khác thì giá trị đó không bằng logarit của chúng. Thời điểm đó, ông cũng đã phát hiện và giới thiệu thêm hai khái niệm tương tự là ''trakacheda'' (cơ số 3) và ''caturthacheda'' (cơ số 4).<ref>{{Chú thích|page=[https://books.google.com/books?id=ymud91nTc9YC&pg=PA352 352]|title=The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics|first=G. G.|last=Joseph|edition=3rd|publisher=Princeton University Press|year=2011|isbn=978-0-691-13526-7}}.</ref><ref>{{Chú thích|contribution=History of Mathematics in India|title=Students' Britannica India: Select essays|editor1-first=Dale|editor1-last=Hoiberg|editor2-first=Indu|editor2-last=Ramchandani|first=R. C.|last=Gupta|page=329|publisher=Popular Prakashan|year=2000|contribution-url=https://books.google.com/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false|isbn=0-85229-762-9}}</ref> Năm 1544, [[Michael Stifel]] cho xuất bản cuốn ''Arithmetica Integra'' có chứa một bảng số nguyên và lũy thừa của 2 tương ứng,<ref>{{Chú thích|last=Stifel|first=Michael|author-link=Michael Stifel|language=Latinh|page=31|title=Arithmetica integra|url=https://books.google.com/books?id=fndPsRv08R0C&pg=PA22|year=1544|place=London|publisher=Iohan Petreium}}.</ref> mà khi đảo ngược các hàng lại thì có thể được xem là dạng ban đầu của bảng logarit.<ref>{{Chú thích|title=Precalculus mathematics|first1=Vivian Shaw|last1=Groza|first2=Susanne M.|last2=Shelley|publisher=Holt, Rinehart and Winston|location=New York|year=1972|isbn=978-0-03-077670-0|page=182|url=https://books.google.com/books?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182}}.</ref> Đến thế kỷ 16–17, kỹ thuật [[prosthaphaeresis]] (''tạm dịch'': thuật nhân và chia số bằng các công thức lượng giác) xuất hiện và được dùng để chuyển phép nhân thành phép cộng thông qua các [[đẳng thức lượng giác]].<ref>{{citation|author=Pierce, R. C., Jr.|date=January 1977|title=A Brief History of Logarithms|journal=The Two-Year College Mathematics Journal|publisher=Mathematical Association of America|volume=8|issue=1|pages=22–26|doi=10.2307/3026878|jstor=3026878}}</ref><ref>{{Harvnb|Boyer|Merzbach|1991|p=307–10}}</ref>

Chẳng hạn, để tìm một số trong một mảng đã sắp xếp, thuật toán [[tìm kiếm nhị phân]] sẽ kiểm tra phần tử đứng giữa mảng và tiếp đến kiểm tra nửa khoảng nằm trước hoặc nằm sau phần tử đứng giữa nếu không tìm thấy số đó. Thuật toán này cần trung bình {{math|log₂(''N'')}} bước so sánh với {{math|''N''}} là số phần tử của mảng.<ref>{{Chú thích|last=Knuth|first=Donald|authorlink=Donald Knuth|title=The Art of Computer Programming|publisher=Addison-Wesley|location=Reading, MA|year=1998|isbn=978-0-201-89685-5|title-link=The Art of Computer Programming|ref=harv}}, mục 6.2.1, tr. 409–426</ref> Tương tự, thuật toán [[sắp xếp trộn]] sắp xếp một mảng bằng cách chia đôi thành hai mảng con và sắp xếp chúng trước khi gộp lại các kết quả. [[Thuật toán sắp xếp]] trộn thường tốn một khoảng thời gian [[Kí hiệu O lớn|xấp xỉ tỉ lệ thuận với]] {{math|''N'' · log(''N'')}}.<ref>{{Harvnb|Knuth|1998|loc=mục 5.2.4|p=158–168}}</ref> Cơ số của logarit không được nhắc đến cụ thể, vì kết quả chỉ thay đổi theo một hằng số nhất định khi dùng cơ số khác. Người ta không quan tâm đến hằng số đó khi phân tích thuật toán dưới [[Phân tích thuật toán|mô hình chi phí thống nhất]] tiêu chuẩn.<ref name="Wegener20">{{Chú thích|last1=Wegener|first1=Ingo|title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005|page=20}}</ref>

[[Lũy thừa Lyapunov]] sử dụng logarit để đo mức độ hỗn loạn của một [[hệ thống động lực]]. Chẳng hạn, khi một [[chất điểm]] di chuyển trên một [[bàn bida]], chỉ một thay đổi rất nhỏ về góc cũng có thể làm thay đổi hoàn toàn hướng đi của chất điểm đó. Hệ thống như vậy [[Lý thuyết hỗn loạn|hỗn loạn]] một cách [[Hệ thống tất định|tất định]], vì những sai sót nhỏ ở điều kiện ban đầu thường dẫn đến những kết quả khác hẳn nhau.<ref>{{Chú thích|last1=Sprott|first1=Julien Clinton|title=Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows|journal=Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows. Edited by Sprott Julien Clinton. Published by World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd|url={{google books |plainurl=y |id=buILBDre9S4C}}|publisher=World Scientific|location=New Jersey|isbn=978-981-283-881-0|year=2010|bibcode=2010ecas.book.....S|doi=10.1142/7183}}, mục 1.9</ref> Ít nhất một lũy thừa Lyapunov của một hệ hỗn loạn tất định có giá trị dương.

Hình bên phải miêu tả miền tô màu của {{math|Log(''z'')}}, trong đó {{mvar|z}} được giới hạn về nửa khoảng {{math|(-{{pi}}, {{pi}}]}}. Có thể thấy nhánh tương ứng của logarit phức bị đứt đoạn trên toàn bộ phần âm của trục hoành thực, tại đó sắc độ thay đổi bất chợt. Sự đứt đoạn này nảy sinh từ việc chuyển sang phân vùng khác trong cùng một nhánh khi đi qua một đường biên (không chuyển qua giá trị {{mvar|k}} tương ứng của nhánh lân cận). Một [[quỹ tích]] như vậy được gọi là [[nhánh cắt]]. Hiện tượng này chỉ có thể bị phá vỡ bằng cách loại bỏ điều kiện của argumen, và khi đó argumen của {{mvar|z}} và logarit của nó đều trở thành [[hàm đa trị]].

Trong [[lý thuyết nhóm]], đồng nhất thức {{math|log(''cd'') {{=}} log(''c'') + log(''d'')}} biểu thị một [[đẳng cấu nhóm]] giữa các [[số thực]] dưới phép nhân và các số thực dưới phép cộng. Hàm logarit là đẳng cấu liên tục duy nhất giữa các nhóm này.<ref>{{Chú thích|last1=Bourbaki|first1=Nicolas|title=General topology. Chapters 5–10|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|series=Elements of Mathematics|isbn=978-3-540-64563-4|mr=1726872|year=1998}}, mục V.4.1</ref> Bằng đẳng cấu đó, [[độ đo Haar]] ([[độ đo Lebesgue]]) {{math|''dx''}} trên các số thực tương ứng với [[độ đo]] Haar {{math|''dx''/''x''}} trên các số thực dương.<ref>{{Chú thích|last1=Ambartzumian|first1=R.V.|title=Factorization calculus and geometric probability|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=978-0-521-34535-4|year=1990|url=https://archive.org/details/factorizationcal0000amba}}, mục 1.4</ref> Các số thực không âm dưới phép cộng và phép nhân tạo thành một [[bán vành]] được gọi là [[bán vành xác suất]]; sau đó, logarit chuyển phép nhân thành phép cộng (phép nhân log) và chuyển phép cộng thành phép cộng log ([[LogSumExp]]), cho một [[Đẳng cấu|phép đẳng cấu]] giữa bán vành xác suất và bán vành log.<ref>{{Chú thích|url=https://archive.org/details/appliedcombinato0000loth/page/210/mode/2up|title=Applied Combinatorics on Words|last=Lothaire|first=M.|publisher=Cambridge University Press|year=2005|isbn=0-521-84802-4|series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications|volume=105|location=Cambridge|pages=211|zbl=1133.68067}}</ref> Trong [[giải tích phức]] và [[hình học đại số]], [[Dạng logarit|1-dạng logarit]] {{math|''df''/''f''}} là một [[dạng vi phân]] với [[Cực điểm (giải tích phức)|cực điểm]] logarit.<ref>{{Chú thích|last1=Esnault|first1=Hélène|last2=Viehweg|first2=Eckart|title=Lectures on vanishing theorems|location=Basel, Boston|publisher=Birkhäuser Verlag|series=DMV Seminar|isbn=978-3-7643-2822-1|mr=1193913|year=1992|volume=20|doi=10.1007/978-3-0348-8600-0}}, mục 2</ref>