Wikipedia

Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Đa tạp đại số”

Duyệt lịch sử tương tác
← Thay đổi trướcThay đổi sau →
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Trực quanMã wiki
Chuyển về thể loại phù hợp
Sửa toàn bộ...
Thẻ: Liên kết định hướng
Dòng 1:
{{wikify}}
{{unreferenced}}
'''Đa tạp đại số''' là một trong những đối tượng được nghiên cứu nhất trong [[hình học đại số]]. Đa tạp đại số ban đầu được định nghĩa là [[tập nghiệm]] của [[hệ phương trình đa thức]] trên số thực hoặc số phức. Toán học hiện đại tổng quát hóa định nghĩa này mà vẫn giữ tính hình học đằng sau định nghĩa gốc.{{r|Hartshorne|page1=58}}
Đa tạp đại số▼
 
Các cách gọi đa tạp đại số có thể khác nhau một chút. Lấy ví dụ như, một số định nghĩa yêu cầu đa tạp phải bất khả quy, nghĩa là nó khôngg phải [[hợp|hợp (lý thuyết tập hợp]] của hai [[Tập hợp|tập]] nhỏ hơn và đóng trong [[tôpô Zariski]]. Dưới định nghĩa này, đa tạp đại số khả quy thì được gọi là '''tập đại số'''. Một số cách gọi khác không yêu cầu tính bất khả quy.
Giả sử là một trường đóng [[đại số]] với đặc số [[0]]. Có thể coi là trường số phức.
I. Đa tạp affine trên. Đặt n biến trên. Một tập con không rỗng được gọi là một iđêan nếu:
:f + g ∈ J với mọi f, g ∈ J
:hf ∈ J với mọi h ∈ A, f ∈ J
:R là hữu hạn sinh (do là vành Noether) nên tập đại số của là tập nghiệm của một số hữu hạn phương trình đa thức trên J.
Nhận xét rằng hợp của 2 tập đại số afine là một tập đại số afine (tương ứng với tích 2 iđêan) và giao của một họ các tập đại số afine là một tập đại số afine (tương ứng với hợp hay tổng của các iđêan). Vậy tập tất cả các tập đại số afine (tương ứng với các iđêan của) cho ta một Tôpô trên không gian. Các tập đóng của Tôpô này là các tập đại số afine và các tập mở được cho bởi các phần bù của chúng. Tôpô này gọi là Tôpô Zariski (theo tên nhà toán học nổi tiếng Oscar Zariski).
 
[[Định lý cơ bản của đại số]] đặt ra mối quan hệ giữa [[đại số]] và [[hình học]] bằng việc chỉ ra rằng [[đa thức monic]] (một đối tượng đại số) trong 1 biến với hệ số phức được xét theo các [[không điểm của hàm số|không điểm]] của nó (một đối tượng hình học) trên [[mặt phẳng phức]]. Tổng quát hóa kết quả này, [[Nullstellensatz của Hilbert]] đưa ra tương thích cơ bản giữa [[Ideal (lý thuyết vành)|ideal]] của các [[vành đa thức]] với các tập đại số. Sử dụng ''Nullstellensatz'' và các kết quả liên quan, các nhà toán học đã đặt ra mối tương thích mạnh giữa các câu hỏi trên tập đại số và các câu hỏi trên [[lý thuyết vành]]. Sự tương thích này là một trong những đặc điểm nổi bật của hình học đại số.
Tôpô Zariski có một vài tính chất đặc biệt sau:
:(a) Tôpô Zariski không phải là Hausdorff.
:(b) Mỗi tập mở của đều là trù mật trong.
 
Các đa tạp đại số thường là [[đa tạp]] nói chung, nhưng các đa tạp đại số có thể có các [[Điểm kỳ dị của đa tạp đại số|điểm kỳ dị]] trong khi đa tạp thì không thể có. Đa tạp đại số có thể được mô tả bằng [[chiều của đa tạp đại số|số chiều]]. Đa tạp đại số có chiều bằng 1 được gọi là [[đường cong đại số]] còn đa tạp với chiều bằng 2 thì được gọi là [[mặt phẳng đại số]].
Tập trang bị bởi Tôpô Zariski được gọi là không gian afine chiều trên. Ta ký hiệu không gian này là (dùng ký hiệu khác với để nhấn mạnh rằng ta có trang bị Tôpô Zariski).
 
Trong bối cảnh lý thuyết [[Lược đồ (toán học)|lược đồ]] hiện đại, một đa tạp đại số trên 1 trường là một lược đồ (bất khả quy và đã rút gọn) trên 1 trường với các [[cấu xạ cấu trúc]] được tách và thuộc dạng hữu hạn.
Ghi chú: Chính xác hơn thì các tập con mở của đa tạp afine cũng được coi là các đa tạp đại số (đôi khi được gọi là semi-afine).
 
==Mô tả khái quát và định nghĩa==
Vành tọa độ của một đa tạp đại số afine. Giả sử được định nghĩa như sau:
Một ''đa tạp affine'' trên [[trường đóng đại số]] là đa tạp dễ nhất để định nghĩa nên ta sẽ dùng nó trong phần này. Tiếp theo, ta có thể định đa tạp xạ ảnh và đa tạp giả xạ ảnh theo cách tương tự. Định nghĩa chung của các đa tạp đại số thường có được từ việc ghép các đa tạp giả xạ ảnh nhỏ hơn với nhau.
:là iđêan xác định của như đã định nghĩa ở trên, và ký hiệu vành thương của theo môdun, với mỗi iđêan (nghĩa là vành các lớp tương đương theo môdun). Khi đó là vành toạ độ của một đa tạp đại số afine.
 
▲===Đa tạp đại sốaffine===
Đa tạp bất khả quy (irreducible). Nếu, Tôpô Zariski trên giới hạn vào sẽ cho một Tôpô trên (trong đó các tập đóng là giao của các tập đóng trong với). Đa tạp được gọi là bất khả quy nếu không phải là hợp của 2 tập con đóng thực sự của nó (nghĩa là không tồn tại các tập đóng).
{{main|Đa tạp affine}}
Cho trường đóng đại số {{mvar|K}} và [[số tự nhiên]] {{mvar|n}}, Gọi {{math|'''A'''<sup>''n''</sup>}} là [[Không gian affin|affine {{math|''n''}}-không gian]] trên {{math|''K''}}, đồng nhất với <math>K^n</math> qua việc chọn [[hệ tọa độ affine]]. Các đa thức {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} trong vành {{math|''K''[''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'']}} có thể được xem là các hàm ''K''-giá trị trên {{math|'''A'''<sup>''n''</sup>}} bằng việc tính {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} tại các điểm thuộc {{math|'''A'''<sup>''n''</sup>}}, nghĩa là chọn một số giá trị trong ''K'' cho mỗi ''x<sub>i</sub>''. Với mỗi tập ''S'' của các đa thức trong {{math|''K''[''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'']}}, định nghĩa quỹ tích không ''Z''(''S'') là tập các điểm trong {{math|'''A'''<sup>''n''</sup>}} mà trên đó các hàm trong ''S'' đều trả về giá trị không, hay nói cách khác là
 
:<math>Z(S) = \left \{x \in \mathbf{A}^n \mid f(x) = 0 \text{ với mọi } f\in S \right \}.</math>
(Ghi chú: trong một vài tài liệu, chẳng hạn cuốn Hình học đại số của Hartshorne thì những đa tạp bất khả quy mới được gọi là đa tạp đại số - tuy nhiên, định nghĩa như hiện tại phù hợp hơn với phần lớn các kết quả nghiên cứu trong chuyên ngành).
 
Tập con ''V'' của {{math|'''A'''<sup>''n''</sup>}} được gọi là '''tập đại số affin''' nếu ''V'' = ''Z''(''S'') với một vài ''S''.{{r|Hartshorne|page1=2}}Một tập đại số affin không rỗng ''V'' được gọi là '''bất khả quy''' nếu nó không thể viết thành hợp của hai tập con đại số [[tập con|chính tắc]].{{r|Hartshorne|page1=3}} Một tập đại số affin bất khả quy có thể gọi ngắn đi là '''đa tạp affin'''.{{r|Hartshorne|page1=3}}.
Định lý. Đa tạp đại số affine là bất khả quy nếu và chỉ nếu là iđêan nguyên tố trong, lớn nhất sao cho tồn tại chuỗi (thường thì là tập gồm một điểm đóng và (định nghĩa theo độ dài lớn nhất của một chuỗi các iđêan nguyền tố).
Chứng minh: dựa vào sự tương ứng 1-1 giữa các đa tạp đại số và các iđêan căn (và sự tương ứng này đảo ngược thứ tự bao hàm), cùng kết quả rằng một đa tạp là bất khả quy nếu và chỉ nếu iđêan xác định của nó là iđêan nguyên tố. (Ghi chú: iđêan nguyên tố là iđêan căn).
 
Các đa tạp affin có thể trang bị cùng [[tôpô tự nhiên]] bằng việc coi các [[tập đóng]] là các tập đại số affin. Tôpô này được gọi là tôpô Zariski.{{r|Hartshorne|page1=2}}
Nhận xét:
 
Cho tập con ''V'' của {{math|'''A'''<sup>''n''</sup>}}, ta định nghĩa ''I''(''V'') là ideal của tất cả các đa thức triệt tiêu trên ''V'':
Mỗi một đa tạp đại số đều có thể được viết thành hợp của một số đa tạp con bất khả quy trong đó không có 2 đa tạp nào chứa nhau, và cách viết này là duy nhất (trừ việc thay đổi thứ tự các đa tạp con).
 
:<math>I(V) = \left \{f \in K[x_1,\ldots,x_n] \mid f(x) = 0 \text{ với mọi } x\in V \right \}.</math>
Bài Tập
(1) (thay bằng là hợp của 3 thành phần bất khả quy. Tìm các iđêan xác định của 3 thành phần này.
 
Với mọi tập đại số affin ''V'', '''vành tọa độ''' hay '''vành cấu trúc''' của ''V'' là [[vành thương|thương]] của vành đa thức chia bởi chính ideal này.{{r|Hartshorne|page1=4}}
(2) Giả sử là trường số thực. Tìm một đa thức trong không phải là bất khả quy. Chú ý rằng, ở đây không phải là trường đóng đại số. Nếu là trường số phức thì tồn tại hay không đa thức với cùng tính chất?
 
===Đa tạp trừu tượng===
II. Đa tạp xạ ảnh. Đặt được gọi là bậc của. Ví dụ: bao gồm các đa thức thuần nhất. Ví dụ: Quan hệ trên tập thỏa mãn các tính chất sau:
Trong hình học đại số cổ điển, tất cả đa tạp đều theo định nghĩa [[đa tạp giả xạ ảnh]], tức là các đa tạp con mở của các đa tạp con đóng của [[không gian xạ ảnh]]. Để lấy ví dụ, trong chương 1 của Hartshorne, một ''đa tạp'' trên trường đóng đại số được định nghĩa là [[đa tạp giả xạ ảnh]],{{r|Hartshorne|page1=15}} nhưng từ chương 2 trở đi, thuật ngữ '''đa tạp''' (hay còn gọi là '''đa tạp trừu tượng''') thường chỉ đối tượng tổng quát hơn mà khi xét cục bộ thì là một đa tạp giả xạ ảnh nhưng nhìn tổng quan thì chưa chắc phải là đa tạp giả xạ ảnh; nghĩa là nó không có phép nhúng vào [[không gian xạ ảnh]].{{r|Hartshorne|page1=105}} Như vậy, theo cổ điển thì định nghĩa của đa tạp đại số cần có phép nhúng vào không gian xạ ảnh, và phép nhúng này được dùng để định nghĩa tôpô trên đa tạp cùng với các hàm [[hàm chính quy|chính quy]] trên đa tạp. Bất lợi của định nghĩa này là không phải mọi đa tạp đều đi kèm phép nhúng tự nhiên vào không gian xạ ảnh. Để lấy ví dụ, dưới định nghĩa này thì tích {{math|'''P'''<sup>1</sup> × '''P'''<sup>1</sup>}} không phải đa tạp cho đến khi nó được nhúng vào không gian xạ ảnh bằng [[phép nhúng Segre]]. Tuy nhiên, bất cứ đa tạp nào có một phép nhúng vào không gian xạ ảnh thì cũng sẽ có nhiều phép nhúng khác vào không gian xạ ảnh bằng cách hợp phép nhúng đó với [[phép nhúng Veronese]]. Điều này cho thấy, tại thời gian cổ điển nhiều thuật ngữ vẫn còn chưa được định nghĩa trước một cách rõ ràng.
 
(a) là một quan hệ tương đương trên tập đã định nghĩa (nghĩa là nếu. Tôpô Zariski trên được định nghĩa một cách tương tự như Tôpô Zariski trên chỉ thay bằng khi xét các đa thức hay các iđêan ta xét các đa thức thuần nhất và các iđêan thuần nhất.
 
Nhận xét rằng mỗi đa thức như với (vì mỗi điểm của là một lớp tương đương và giá trị của tại điểm đó phụ thuộc vào từng đại diện của lớp tương đương đó - có nhiều đại diện của mỗi lớp tương đương).
Hoàn toàn tương tự như với các tập đại số affine, tập tất cả các tập đại số xạ ảnh (tương ứng với các iđêan thuần nhất của) tạo thành các tập đóng của một Tôpô trên. Tôpô này được gọi là Tôpô Zariski. Từ giờ trở đi, khi viết ta hiểu là không gian trang bị bởi Tôpô Zariski như đã nói.
 
Định nghĩa. được gọi là không gian xạ ảnh chiều trên.
 
Định nghĩa. Một đa tạp xạ ảnh là một tập con đóng của với tự nhiên nào đó.
 
Ghi chú: Giả sử trên (lấy giao với) ta có Tôpô Zariski trên. Đôi khi một tập con mở của một đa tạp xạ ảnh cũng được coi là một đa tạp xạ ảnh.
 
Bằng cách tương đương ta có thể định nghĩa đa tạp xạ ảnh bất khả quy. là bất khả quy nếu không thể viết thành hợp của 2 tập con đóng thực sự của nó.
 
Định nghĩa. Với một đa tạp xạ ảnh được định nghĩa như sau:
 
là vành.
 
Nhận xét: Hoàn toàn tương tự như trong trường hợp affine, ta có thể định nghĩa đa tạp xạ ảnh bất khả quy và chiều của một đa tạp xạ ảnh. Ta cũng có thể xây dựng tương ứng 1-1 (giống như tương ứng trong trường hợp affine) giữa đa tạp xạ ảnh và iđêan căn thuần nhất. Từ tương ứng này ta có xác định tập rỗng trong.
 
Liên hệ giữa đa tạp xạ ảnh và đa tạp affine.
 
Một trong các mối liên hệ quan trọng giữa đa tạp xạ ảnh và đa tạp affine là mỗi đa tạp xạ ảnh đều có thể được xem như hợp của một số hữu hạn các đa tạp affine. Cách nhìn này sẽ là khá quan trọng cho các thảo luận kế tiếp.
 
Định nghĩa: giả sử (hay đa tạp xạ ảnh xác định bởi) trong là một siêu mặt. Trong trường hợp là một đa thức tuyến tính thuần nhất, ta gọi tập các không điểm của là một siêu phẳng.
 
Nhận xét rằng, mỗi biến của là một đa thức tuyến tính thuần nhất. Vì thế xác định một siêu phẳng trong - ta ký hiệu siêu phẳng này là.
 
Theo định nghĩa thì là một tập con mở của Dễ dàng thấy rằng, do định nghĩa, với mỗi sao cho có nghĩa là ta loại bỏ thành phần).
 
Dễ thấy rằng nếu (với nào đó) - nghĩa là, nếu tồn tại là ánh xạ xác định trên.
 
==Tham khảo==
{{reflist|refs=
{{tham khảo}}
<ref name="Hartshorne">
{{cite book
| last = Hartshorne
| first = Robin
| author-link = Robin Hartshorne
| year = 1977
| title = Algebraic Geometry
| publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
| isbn = 0-387-90244-9
}}
</ref>
}}
 
[[Thể loại:Hình học đại số]]
Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/wiki/Đa_tạp_đại_số”