Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Tỷ lệ vàng”

Chứng minh: giả sử ''φ'' là số hữu tỉ, tức <math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> là số hữu tỉ, ta có thể biến đẳng thức thành <math>2\varphi - 1 = \sqrt{5}</math>, bởi ''φ'' là số hữu tỉ nên <math>2\varphi - 1</math> cũng là số hữu tỉ nhưng <math>\sqrt{5}</math> là số vô tỉ, mâu thuẫn với giả thuyết, do đó ''φ'' phải là số vô tỉ.

 

[[File:Golden ratio parabolas.png|thumb|Tỷ lệ vàng <math>\varphi</math> và nghịch đảo âm <math>-\varphi^{-1}</math> là nghiệm của phương trình bậc hai <math>x^2 - x - 1</math>. Giá trị âm của tỷ lệ vàng <math>-\varphi</math> và nghịch đảo <math>\varphi^{-1}</math> là nghiệm của phương trình bậc hai <math>x^2 + x - 1</math>.]]

Tỷ lệ vàng đồng thời là [[số đại số]], hơn nữa còn là [[số đại số nguyên]]. [[Đa thức tối tiểu (lý thuyết trường)|Đa thức tối tiểu]] của nó là: