Trong [[toán học]], '''nhóm tứbốn Klein''' là một [[Nhóm (toán học)|nhóm]] có bốn phần tử, trong đó mỗi phần tử là [[Hàm số tự nghịch đảo|tự nghịch đảo]] (kết hợp nó với chính nó tạo ra phần tử đơn vị) và việc kết hợp bất kỳ hai trong ba phần tử không phải đơn vị đồng nhất sẽ tạo ra phần tử thứ ba. Nhóm này có thể được mô tả như là [[nhóm đối xứng]] của một [[hình chữ nhật]] không vuông (với ba phần tử không đồng nhất là phản xạ ngang và dọc và xoay 180 độ), hoặc là nhóm các giá trị nhị phân 2 bit với [[Phép toán thao tác bit|phép toán XOR]] là phép toán trong nhóm, hoặc [[Đại số trừu tượng|trừu tượng]] hơn là nhóm {{Nowrap|Z<sub>2</sub> × Z<sub>2</sub>}}, tích [[Tích trực tiếp của hai nhóm|trực tiếp]] của hai bản sao của [[nhóm cyclic]] [[Cấp (lý thuyết nhóm)|bậc]] 2. Nó được đặt tên là '''''Vierergruppe''''' (có nghĩa là nhóm tứbốn) bởi [[Felix Klein]] vào năm 1884.<ref>''Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade'' (Lectures on the icosahedron and the solution of equations of the fifth degree)</ref> Nó còn được gọi là '''nhóm Klein''', và thường được ký hiệu bằng chữ V hoặc K<sub>4</sub>.
== Trình bày ==
Dòng 34:
| e
|}
Nhóm tứbốn Klein cũng được định nghĩa bằng cách viết [[Biểu thị nhóm|trình bày nhóm]] như sau
Tất cả các [[Phần tử đơn vị|phần tử không đồng nhất]] của nhóm Klein có cấp 2, do đó bất kỳ hai phần tử không đồng nhất nào cũng có thể đóng vai trò làm tập sinh trong phần trình diễn trên. Nhóm tứbốn Klein là nhóm không [[Nhóm cyclic|cyclic]] nhỏ nhất. Tuy nhiên, nó là một [[Nhóm giao hoán|nhóm abel]], và đồng phân với [[Nhóm nhị diện|nhóm nhị]] diện cấp 4, tứcbốnc là D<sub>4</sub> (hoặc D<sub>2</sub>, sử dụng quy ước hình học); cùng với nhóm cấp 2, nó là nhóm nhị diện duy nhất có tính abel.
Nhóm tứbốn Klein có biểu diễn dưới dạng ma trận thực 2 × 2 với phép toán là phép nhân ma trận:
: <math>
Dòng 62:
== Hình học ==
Về mặt hình học, theo hai chiều, nhóm tứbốn Klein là nhóm [[Nhóm đối xứng|đối xứng]] của [[hình thoi]] và [[hình chữ nhật]] không phải là [[hình vuông]], bốn phần tử ở đây là phần tử đơn vị (giữ nguyên), phản xạ ngang, phản xạ dọc và quay 180 độ.
