|
== Thí dụ ==
Một ví dụ đơn giản về khái niệm này có thể được quan sát thấy trong điều khiển âm lượng của một bộ khuếch đại âm thanh. Trong khi tai chúng ta có thể (khoảng) nhận biết một phân cấp tương đối âm lượng khi điều khiển đi 1 đến 10, điện năng tiêu thụ trong các loa cũng tăng hình học với mỗi cấp điều khiển như vậy. "Độ ồn" tỷ lệ thuận với số âm lượng (một mối quan hệ tuyến tính), trong khi công suất tăng lại gấp đôi với mỗi mức tăng (một quan hệ phi tuyến, quan hệ hàm mũ).
Trong toán học
Trong toán học, một ánh xạ tuyến tính hoặc hàm tuyến tính tuyến tính f (x) là một hàm thỏa mãn hai tính chất sau:
Cộng tính:
Tính đồng nhất của độ 1: cho tất cả các α.
Các đặc tính đồng nhất và cộng tính kết hợp với nhau được gọi là nguyên lý chồng chất. Nó có thể được chỉ ra rằng cộng tính có thể bao hàm tính đồng nhất trong tất cả các trường hợp α là số hữ tỉ; điều này được thực hiện bằng cách chứng minh trường hợp α là một số tự nhiên bằng quy nạp toán học và sau đó mở rộng kết quả tới bấy kỳ số hữ tỉ tùy ý. Nếu f được giả định cũng là liên tục, thì điều này có thể được mở rộng tính đồng nhất cho bất kỳ số thực α nào, dùng tính chất là các số hữu tỉ tạo thành một tập hợp dày đặc của tập số thực.
Trong định nghĩa này, x không nhất thiết phải là một số thực, nhưng có thể nói chung là một bộ phận của không gian vector bất kỳ. Một định nghĩa cụ thể hơn về hàm tuyến tính, không trùng với định nghĩa của ánh xạ tuyến tính, được sử dụng trong toán học sơ cấp.
Khái niệm về tuyến tính có thể được mở rộng đến toán tử tuyến tính. Ví dụ quan trọng của các toán tử tuyến tính bao gồm các đạo hàm được coi như một toán tử vi phân, và nhiều phép toán được xây dựng từ nó, chẳng hạn như del (toán tử napla) và Laplace. Khi một phương trình vi phân có thể được thể hiện dưới dạng tuyến tính, nói chung việc giải phương trình đơn giản hơn bằng cách chia nhỏ phương trình đó, giải quyết từng phương trình nhỏ, và tổng hợp các nghiệm lại với nhau.
Đại số tuyến tính là nhánh của toán học có liên quan tới việc nghiên cứu các vectơ, không gian vector (còn được gọi là không gian tuyến tính), biến đổi tuyến tính (còn gọi là ánh xạ tuyến tính), và hệ phương trình tuyến tính.
Từ tuyến tính (linear) xuất phát từ linearis trong tiếng Latin, có nghĩa là có liên quan hoặc tương tự một đường thẳng. Để mô tả phương trình tuyến tính và phi tuyến, xem phương trình tuyến tính. Phương trình và hàm phi tuyến được các nhà vật lý và toán học quan tâm đến bởi vì chúng có thể được sử dụng để diễn tả nhiều hiện tượng tự nhiên, bao gồm cả hỗn loạn.
Đa thức tuyến tính
Một cách sử dụng khác so với định nghĩa trên, một đa thức bậc 1 được cho là tuyến tính, vì đồ thị của một hàm có hình dạng là một đường thẳng.
Trong miền số thực, một phương trình tuyến tính là một phương trình có dạng:
{\displaystyle f(x)=mx+b}{\displaystyle f(x)=mx+b}
trong đó m thường được gọi là độ dốc hoặc gradient; b là giao điểm với trục y.
Lưu ý rằng việc sử dụng thuật ngữ tuyến tính này không giống như ở trên, vì đa thức tuyến tính trên miền số thực nói chung không đáp ứng được một trong hai điều kiện tính cộng được hoặc tính đồng nhất. Trong thực tế, sẽ thỏa mãn nếu và chỉ nếu. Do đó, nếu , hàm thường được gọi là hàm affine (xem thêm trong biến đổi affine tổng quát).
Hàm Boolean
Trong đại số Boolean, một hàm tuyến tính là một hàm f trong đó tồn tại {\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}}{\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}}
{\textstyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n}),whereb_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.}{\textstyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n}),whereb_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.}
Một hàm Boolean là tuyến tính nếu bảng chân lý của nó thỏa mãn một trong những điều sau đây:
Trong mỗi hàng trong đó các giá trị chân lý của hàm là 'T', có một số lẻ của 'T được gán cho các đối số và trong mỗi hàng trong đó hàm là' F 'có một số chẵn của' T được gán cho đối số. Cụ thể, và các hàm này tương ứng với các ánh xạ tuyến tính trên không gian vector Boolean.
Trong mỗi hàng trong đó giá trị của hàm là 'T', có một số chẵn của các 'T' được gán cho các đối số của hàm; và trong mỗi hàng, trong đó các giá trị chân lý của hàm là 'F', có một số lẻ các 'T' được gán cho đối số. Trong trường hợp này.
Một cách khác để diễn đạt điều này là mỗi biến luôn làm một hiệu số trong giá trị chân lý của toán tử hoặc nó không bao giờ làm một hiệu số.
Phủ định, biconditional Logical, loại trừ hoặc, lặp lại, và mâu thuẫn là các hàm tuyến tính
== Trong toán học ==
| 