2.088
lần sửa đổi
Khác biệt giữa các bản “Định lý Green”
→Mối liên hệ với định lý Stokes
|
Định lý Green là một trường hợp đặc biệt của [[định lý Stokes]], khi áp dụng trên mặt phẳng-''xy'':
:<math>\oint_{C} (L\, dx + M\, dy) = \oint_{C} (L, M, 0) \cdot (dx, dy, dz) = \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}. </math>
Theo định lý Stokes thì:
:<math>\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS. </math>
Biểu thức bên trong tích phân trở thành
:<math>\nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} = \left[ \left(\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{\partial M}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial L}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) \mathbf{k} \right] \cdot \mathbf{k} = \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right). </math>
Do đó mà ta sẽ được vế phải của định lý Green
:<math>\iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS = \iint_D \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) \, dA. </math>
| |||