|
:<math>\iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS = \iint_D \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) \, dA. </math>
==Mối liên quan với định lý Gauss ==
==Relationship to the divergence theorem==
Nếu chỉ xét các trường vectơ trong không gian 2 chiều,
Considering only two-dimensional vector fields,
định lý Green là tương đuơng với phiên bản 2 chiều sau đây của [[định lý Gauss]]:
Green's theorem is equivalent to the following two-dimensional version of the [[divergence theorem]]:
:<math>\iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA=\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, ds,</math>
wherevới <math>\mathbf{\hat n}</math> islà thevéc outward-pointingtơ unitđịnh normalchuẩn vectorhướng onra thengoài boundarytrên biên.
ToĐể seethấy thisđiều này, considerxét vec thetơ unitđịnh normalchuẩn <math>\mathbf{\hat n}</math> inở thetay rightphải sidecủa ofphương the equationtrình. SinceBởi invì Green'strong theoremđịnh lý Green <math>d\mathbf{r} = ( dx, dy)</math> islà amột vectorvecto pointingđi tangentialtheo alonghướng thetiếp curvetuyến với đường cong, andvà theđường curvecong C isđược theđịnh positively-orientedhướng dương (i.e.ngược counterclockwise)chiều curvekim đồng hồ) alongdọc thetheo boundarybiên, anvectơ outwardđịnh normalchuẩn wouldhướng bera angoài vectorsẽ whichchỉ vuông góc points 90° tovề thephía rightphải, whichvà wouldsẽ belà <math>( dy, -dx)</math>. TheChiều lengthdài ofcủa thisvec vectortơ isnày là <math>\sqrt{dx^2 + dy^2} = ds</math>. SoDo vậy <math>\mathbf{\hat n}\,ds = ( dy, -dx).</math>
NowBây letgiờ thehãy components ofđể <math>\mathbf{F} = ( P, Q)</math>. ThenKhi đó thevế rightphải handsẽ sidetrở becomesthành
:<math>\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, ds = \oint_C P dy - Q dx</math>
mà do định lý Green sẽ trở thành
which by Green's theorem becomes
:<math>\oint_C -Q dx + P dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)\, dA = \iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA.</math>
Điều ngược lại cũng có thể được chứng minh một cách dễ dàng.
The converse can also easily shown to be true.
==Area Calculation==
| 