Khác biệt giữa các bản “Tích phân mặt”

n (r2.7.1) (Bot: Thêm pt:Integral de superfície)
[[Tập tin:Surface integral illustration.png|phải|nhỏ|Định nghĩa tích phân mặt dựa trên việc chia mặt phẳng thành các phần tử nhỏ.]]
[[Tập tin:Surface integral1.svg|phải|nhỏ|Minh họa phần tử bề mặt riêng lẽ. Các phần tử này được chia ra rất nhỏ bằng phương pháp giới hạn, do đó nó gần giống với một bề mặt.]]
 
==Cách tính tích phân mặt==
 
Để tính toán cụ thể một tích phân mặt, chúng ta cần [[Hệ tọa độ|tham số hóa]] ''S'' bằng cách biểu diễn ''S'' trong một [[hệ tọa độ cong]], giống như là [[kinh độ]] và [[vĩ độ]] trên một [[mặt cầu]]. Hãy gọi một tham số hóa đó là '''x'''(''s'', ''t''), với (''s'', ''t'') thay đổi trong một miền ''T'' trong một [[mặt phẳng]]. Khi đó, tích phân mặt sẽ được cho bởi công thức sau
 
:<math>
\int_{S} f \,dS
= \iint_{T} f(\mathbf{x}(s, t)) \left|{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right| ds\, dt
</math>
 
Biểu thức giữa 2 đường vạch thẳng là [[độ lớn]] của [[tích vectơ]] của các [[đạo hàm riêng]] của '''x'''(''s'', ''t''), và được biết như là [[đơn vị bề mặt]].
 
Ví dụ như, nếu như chúng ta muốn tìm diện tích bề mặt của một bề mặt nào đó, ví dụ <math>z=f\,(x,y)</math>, ta có
:<math>
A = \int_S \,dS
= \iint_T \left\|{\partial \mathbf{r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf{r} \over \partial y}\right\| dx\, dy
</math>
với <math>\mathbf{r}=(x, y, z)=(x, y, f(x,y))</math>. Do đó <math>{\partial \mathbf{r} \over \partial x}=(1, 0, f_x(x,y))</math>, và <math>{\partial \mathbf{r} \over \partial y}=(0, 1, f_y(x,y))</math>. Do vậy,
:<math>\begin{align}
A
&{} = \iint_T \left\|\left(1, 0, {\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0, 1, {\partial f \over \partial y}\right)\right\| dx\, dy \\
&{} = \iint_T \left\|\left(-{\partial f \over \partial x}, -{\partial f \over \partial y}, 1\right)\right\| dx\, dy \\
&{} = \iint_T \sqrt{\left({\partial f \over \partial x}\right)^2+\left({\partial f \over \partial y}\right)^2+1}\, \, dx\, dy
\end{align}</math>
và đó là công thức quen thuộc để đi tìm diện tích của một bề mặt nào đó.
 
Chú ý là do sự hiện diện của tích vec tơ, các công thức trên chỉ có giá trị khi các bề mặt được đặt trong không gian 3 chiều.
 
== Liên kết ngoài ==
2.088

lần sửa đổi