Định thức

Định thức là một khái niệm trong đại số tuyến tính được sử dụng để phân tích và giải các hệ phương trình tuyến tính. Một hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi định thức của ma trận của hệ đó khác 0. Ví dụ hệ phương trình:

$:a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z=0,$

$:b_{1}x+b_{2}y+b_{3}z=0,$

$:c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z=0,$

có định thức là $a_{1}b_{2}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{2}+a_{2}b_{3}c_{1}-a_{2}b_{1}c_{3}+a_{3}b_{1}c_{2}-a_{3}b_{2}c_{1}=0$

Định thức chỉ được xác định trong các ma trận vuông. Nếu định thức của một ma trận bằng 0 , ma trận này được gọi là singular, nếu định thức bằng 1, ma trận này được gọi là unimodular. Với ma trận tổng quát n x n :

$A={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}...&a_{n}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}...&b_{n}\\\cdots \ \ \cdots \ \ \cdots \\z_{1}&z_{2}&z_{3}...&z_{n}\\\end{bmatrix}}$

Định thức của nó được ký hiệu $\det(A)$ hay |A|

Với ma trận 2 x 2

$A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

định thức của nó là:

$\det(A)=ad-bc\,$.

Với ma trận tổng quát n x n :

$\det(A)=\sum _{j=1}^{n}A_{i,j}C_{i,j}=\sum _{j=1}^{n}A_{i,j}(-1)^{i+j}M_{i,j}$

ở đó $A_{(}i,j)$ là phần tử ở hàng $i$ , và cột $j$ . $C_{i,j}$ là đồng hạng của ma trận, được tính bằng công thức : $C_{i,j}=(-1)^{i+j}\times M_{i,j}$ , với $M_{i,j}$ là ma trận thừa số, là ma trận gốc trừ đi hàng thứ $i$ , và cột thứ $j$ .