Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Định thức”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Không có tóm lược sửa đổi |
Không có tóm lược sửa đổi |
||
Dòng 1:
== Định nghĩa==
'''Định thức''' là một khái niệm trong [[đại số tuyến tính]] được sử dụng để phân tích và giải các [[hệ phương trình tuyến tính]]. Một hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi định thức của [[ma trận]] của hệ đó khác 0. Ví dụ hệ phương trình:
<math>
<math>
<math>
có định thức là <math> a_1b_2c_3 - a_1b_3c_2 + a_2b_3c_1 - a_2b_1c_3 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1 = 0 </math>
Hàng 28 ⟶ 30:
ở đó <math> A_(i, j) </math> là phần tử ở hàng <math> i</math> , và cột <math>j</math> . <math>C_{i,j}</math> là đồng hạng của ma trận, được tính bằng công thức :
<math>C_{i,j} = (-1)^{i+j} \times M_{i,j}</math> , với <math>M_{i,j}</math> là ma trận thừa số, là ma trận gốc trừ đi hàng thứ <math> i</math> , và cột thứ <math>j</math> .
== Ví dụ ==
Tìm định thức của ma trận:
:<math>A = \begin{bmatrix}-2&2&-3\\
-1& 1& 3\\
2 &0 &-1\end{bmatrix}</math>
'''Cách 1''': Sử dụng công thức [[Leibniz]]
:{|
|-
|<math>\det(A)\,</math>
|<math>=\,</math>
|<math>(-2)\cdot 1 \cdot (-1) + (-3)\cdot 0 \cdot (-1) + 2\cdot 3\cdot 2</math>
|-
|
|
|<math>- (-3)\cdot 1 \cdot 2 - (-2)\cdot 3 \cdot 0 - 2\cdot (-1) \cdot (-1)</math>
|-
|
|<math>=\,</math>
|<math>2 + 0 + 12 - (-6) - 0 - 2 = 18.\,</math>
|}
'''Cách 2''': Sử dụng công thức [[Laplace]] để khai triển định thức theo một hàng hoặc một cột. Cách tốt nhất là chọn hàng, hoặc cột nào có nhiều phần tử bằng 0, vì như vậy, giá trị định thức của phần tử đó sẽ bằng 0 ( <math> A_{i,j}\times C_{i,j}\ = \ 0 \times C_{i, j} \ = \ 0 </math>) vì thế ta sẽ khai triển theo cột thứ 2.
:{|
|-
|<math>\det(A)\,</math>
|<math>=\,</math>
|<math>(-1)^{1+2}\cdot 2 \cdot \det \begin{bmatrix}-1&3\\ 2 &-1\end{bmatrix} + (-1)^{2+2}\cdot 1 \cdot \det \begin{bmatrix}-2&-3\\ 2&-1\end{bmatrix}</math>
|-
|
|<math>=\,</math>
|<math>(-2)\cdot((-1)\cdot(-1)-2\cdot3)+1\cdot((-2)\cdot(-1)-2\cdot(-3))</math>
|-
|
|<math>=\,</math>
|<math>(-2)(-5)+8 = 18.\,</math>
|}
'''Cách 3''': Sử dụng thuật toán của [[Gauss]], bằng việc áp dụng các tính chất của định thức, biến đổi các cột, hoặc hàng thành dạng đơn giản, như chứa phần tử bằng 0 , sau đó tính định thức theo hàng, cột đó.
:<math>\begin{bmatrix}0&2&-3\\
0 &1 &3\\
2 &0 &-1\end{bmatrix}</math>
và định thức sẽ được tính nhanh khi khai triển theo cột đầu tiên:
:{|
|-
|<math>\det(A)\,</math>
|<math>=\,</math>
|<math>(-1)^{3+1}\cdot 2\cdot \det \begin{bmatrix}2&-3\\ 1&3\end{bmatrix}</math>
|-
|
|<math>=\,</math>
|<math>2\cdot(2\cdot3-1\cdot(-3)) = 2\cdot 9 = 18.\,</math>
|}
| |||