Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Phép toán hai ngôi”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
n Phép toán nhị nguyên đổi thành Phép toán hai ngôi qua đổi hướng: Phép toán nhị nguyên không ai dùng nữa. |
Không có tóm lược sửa đổi |
||
Dòng 1:
Trong [[toán học]], '''phép toán
==Định nghĩa==
Một cách chính xác, một phép toán hai ngôi trên [[tập hợp]] ''S'' là một [[ánh xạ]] từ [[tích Đề các]] ''S'' × ''S'' vào ''S''.
<math>\,S</math>:
:<math>\,f \colon S \times S \rightarrow S.</math>
Các ví dụ thông dụng bao gồm [[phép cộng]], [[phép trừ]], [[phép nhân]] hay [[phép chia]] trong toán phổ thông. Các phép toán nhị nguyên cũng xuất hiện nhiều trong [[đại số trừu tượng]]: chúng nằm trong định nghĩa của [[nhóm (đại số)|nhóm]], [[monoid]], [[nửa nhóm]], [[vành (đại số)|vành]]...▼
Theo định nghĩa này, phép toán hai ngôi tự động thỏa mãn tính chất [[đóng kín (phép toán)|đóng]]. Phép toán hai ngôi còn được gọi là luật '''hợp thành trong''', nghĩa là kết quả của phép toán trên hai phần tử của ''S'' là phần tử của ''S''. Điều này phân biệt với các phép toán ngoài, chẳng hạn phép nhân vô hướng hai vector cho kết quả là một số. Một loại phép toán khác là phép toán tác động vào hai phần tử của hai tập hợp khác nhau. Chẳng hạn phép nhân một số với một vetor.
Một cách tổng quát, một ''[[magma (đại số)|magma]]'' là một tập hợp cùng với một phép toán nhị nguyên trên nó.▼
Cũng có thể xét các phép toán một ngôi, chẳng hạn phép lấy phủ định của một [[mệnh đề]] logic, phép lấy chuyển vị của một [[ma trận]]. Theo hướng ngược lại có thể xét phép toán với ''n'' ngôi''.
Các phép toán nhị nguyên thường được ký hiệu bằng một dấu phép toán nằm giữa hai phần tử của tập hợp (như ''a'' * ''b'', ''a'' + ''b'', hay ''a'' · ''b'') hơn là ở dưới dạng hàm ''f''(''a'',''b'').▼
Một cách mở rộng hơn nữa, có thể xét các toán tử,như là một ánh xạ twf một tập con của tích Đêcac ''S'' × ''S'' vào ''S''.
Trong các phép toán thông thường bao gồm [[phép cộng]], [[phép trừ]], [[phép nhân]], [[phép chia]] trên các tập số, ta cần chỉ rõ tập hợp trên đó thực hiện phép toán. Chẳng hạn [[phép cộng]] và [[phép nhân]] có thể áp dụng trên tất cả các tập hợp số đã biết <math>\mathbb{N}\, \mathbb{Z}\, \mathbb{Q}\, \mathbb{R}\, \mathbb{C}</math>. Trong khi đó, [[phép trừ]] không phải luôn thực hiện được trên tập số tự nhiên <math>mathbb{N}</math>, do đó không phải là phép toán hai ngôi trên<math> mathbb{N}</math>. Tương tự, phép chia (đúng) không là phép toán hai ngôi trên tập số nguyên.
▲
▲
▲Các phép toán
==Một số tính chất của các phép toán hai ngôi==
Khi nghiên cứu các cấu trúc đại số ta thường đề cập đến một số phép toán hai ngôi thỏa mãn một số điều kiện đặc biệt. Đó là:
*Phép toán hai ngôi * trên ''S'' được gọi là có tính chất kết hợp nếu
:<math>\forall a,b,c \in S , (a*b)*c=a*(b*c)</math>;
*Phép toán hai ngôi * trên ''S'' được gọi là có tính chất giao hoán nếu
:<math>\forall a,b \in S , a*b=b*a</math>;
*Phần tử θ của ''S'' được gọi là phần tử trung hòa trái đối với phép toán * nếu
:<math>\forall a\in S , \theta *a = a </math>
*Phần tử θ của ''S'' được gọi là phần tử trung hòa phải đối với phép toán * nếu
<math>\forall a\in S , a*\theta = a </math>
Nếu trên S có hai phép toán <math>\oplus</math> và <math>\otimes</math> thì phép <math>\otimes</math> được gọi là phân phối trái với phép <math>\oplus</math> nếu
:<math>\forall a,b,c \in S , a \otimes (b \oplus c) = (a \otimes b) \oplus (a \otimes c) </math>;
tưong tự với tính phân phối bên phải.
{{stub}}
[[Thể loại:Đại số]]
| |||