Khác biệt giữa các bản “Bất đẳng thức Bernoulli”

Giải bất đẳng thức Bernoulli
(Giải bất đẳng thức Bernoulli)
Bất đẳng thức Bernoulli thường được dùng trong việc [[chứng minh]] các bất đẳng thức khác. Bản thân nó có thể được chứng minh bằng phương pháp [[quy nạp toán học]]:
 
''Chứng minh'':
''Chứng minh'': Khi r=0, bất đẳng thức trở thành <math>(1+x)^0 \ge 1+0x</math> tức là <math>1\ge 1</math> mà rõ ràng đúng.
 
''Chứng minh'': Khi r=0, bất đẳng thức trở thành <math>(1+x)^0 \ge 1+0x</math> tức là <math>1\ge 1</math> mà rõ ràng đúng.
 
Bây giờ giả sử bất đẳng thức đúng với r=k: <math>(1+x)^k \ge 1+kx</math>
 
TừCần đó chúng ta suy rachứng minh: <math>(1+x)^{k+1} =\ge (1+x)(1+x)^k \ge (1+x)(1+kx)</math> (vì theo giả thiết <math>(1+x)\ge 0</math>)
 
Thật vậy, <math>(1+x)^{k+1} = (1+x)(1+x)^k \ge (1+x)(1+kx)</math> (vì theo giả thiết <math>(1+x)\ge 0</math>)
<math>= 1+kx+x+kx^2 = 1+(k+1)x + kx^2 \ge 1+(k+1)x</math> (vì <math>kx^2 \ge 0</math>)
 
Do đó, chúng ta có <math>(1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x</math>, mà điều này có nghĩa là bất đẳng thức đúng với r=k+1.
=> Bất đẳng thức đúng với r=k+1.
 
Theo nguyên lý quy nạp, chúng ta suy ra bất đẳng thức đúng với mọi <math>r\ge 0 \ \ \Box \;</math>
Có thể chứng minh bất đẳng thức tổng quát hoá nói trên bằng cách so sánh các [[đạo hàm]].
 
Một lần nữa, bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt nếu ''x'' &ne; 0-1 1 ≤ ''r'' &ne;thuộc 0,tập 1số tự nhiên.
 
== Các bất đẳng thức liên quan ==
Bất đẳng thức dưới đây ước lượng lũy thừa bậc ''r'' của 1 + ''x'' theo chiều khác. Với số thực ''x'' bất kỳ, ''r'' &gt; 0, chúng ta có
797

lần sửa đổi