Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Bất đẳng thức Bernoulli”
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
n robot Thay: pl:Nierówność Bernoullego |
Giải bất đẳng thức Bernoulli |
||
Dòng 9:
Bất đẳng thức Bernoulli thường được dùng trong việc [[chứng minh]] các bất đẳng thức khác. Bản thân nó có thể được chứng minh bằng phương pháp [[quy nạp toán học]]:
''Chứng minh'':
Khi r=0, bất đẳng thức trở thành <math>(1+x)^0 \ge 1+0x</math> tức là <math>1\ge 1</math> mà rõ ràng đúng. Bây giờ giả sử bất đẳng thức đúng với r=k: <math>(1+x)^k \ge 1+kx</math>
Thật vậy, <math>(1+x)^{k+1} = (1+x)(1+x)^k \ge (1+x)(1+kx)</math> (vì theo giả thiết <math>(1+x)\ge 0</math>) <math>= 1+kx+x+kx^2 = 1+(k+1)x + kx^2 \ge 1+(k+1)x</math> (vì <math>kx^2 \ge 0</math>)
=> Bất đẳng thức đúng với r=k+1.
Theo nguyên lý quy nạp, chúng ta suy ra bất đẳng thức đúng với mọi <math>r\ge 0 \ \ \Box \;</math>
Hàng 27 ⟶ 32:
Có thể chứng minh bất đẳng thức tổng quát hoá nói trên bằng cách so sánh các [[đạo hàm]].
Một lần nữa, bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt nếu ''x''
== Các bất đẳng thức liên quan ==
Bất đẳng thức dưới đây ước lượng lũy thừa bậc ''r'' của 1 + ''x'' theo chiều khác. Với số thực ''x'' bất kỳ, ''r'' > 0, chúng ta có
|