Định lý Faltings

Trong hình học số học, giả thuyết Mordell là giả thuyết được đặt bởi Louis Mordell rằng đường cong với giống lớn hơn 1 trên trường Q của số hữu tỉ có hữu hạn số điểm hữu tỉ. Trong 1983 giả thuyết được chứng minh bởi Gerd Faltings, và nay được biết như định lý Faltings. Sau đó, giả thuyết tổng quá hóa bằng cách thay trường Q bằng các trường số khác.

Định lý Faltings

Gerd Faltings
Lĩnh vực	Hình học số học
Được dự đoán bởi	Louis Mordell
Được dự đoán vào	1922
Giải được đầu tiên bởi	Gerd Faltings
Giải được đầu tiên vào	1983
Khái quát	Giả thuyết Bombieri–Lang Giả thuyết Mordell–Lang
Kết quả	Định lý Siegel trên các điểm khả tích

Nền của giả thuyết

Gọi C là đường cong đại số không kỳ dị của giống g trên Q. Khi đó tập các hữu tỉ của C được xét như sau:

• Trường hợp g = 0: không có điểm nào hoặc có vô số; C được xử lý tương tự như với lát cắt conic.
• Trường hợp g = 1: không có điểm nào, hoặc C là đường cong elliptic và các điểm hữu tỉ của nó tạo thành nhóm Abel hữu hạn sinh (định lý Mordell, sau này tổng quát hóa thành định lý Mordell–Weil). Hơn nữa, định lý xoắn Mazur giới hạn cấu trúc của nhóm con xoắn.
• Trường hợp g > 1: theo giả thuyết Mordell, nay là định lý Faltings, C có hữu hạn số điểm hữu tỉ.

Các bài chứng minh

Igor Shafarevich giả thuyết rằng chỉ có hữu hạn số lớp đồng cấu của các đa tạp Abel với chiều cố định và bậc quang phổ cố định trên 1 trường số cố định với rút gọn tốt ngoài tập hữu hạn cố định các khu. Aleksei Parshin chứng minh rằng từ giả thuyết hữu hạn của Shafarevich sẽ ra được giải thuyết Mordell.

Gerd Faltings đã chứng minh giả thuyết hữu hạn của Shafarevich bằng cách dùng phương pháp rút gọn tương tự với trường hợp của giả thuyết Tate, cùng với công cụ từ hình học đại số, bao gồm cả các mô hình Néron. Ý tưởng chính trong bài chứng minh của Faltings là sự so sánh chiều cao Faltings với chiều cao ngây thơ qua các đa tạp môđun Siegel.

Tham khảo

• Bombieri, Enrico (1990). “The Mordell conjecture revisited”. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 17 (4): 615–640. MR 1093712.
• Coleman, Robert F. (1990). “Manin's proof of the Mordell conjecture over function fields”. L'Enseignement Mathématique. 2e Série. 36 (3): 393–427. ISSN 0013-8584. MR 1096426. Bản gốc lưu trữ ngày 2 tháng 10 năm 2011.
• Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. biên tập (1986). Arithmetic geometry. Papers from the conference held at the University of Connecticut, Storrs, Connecticut, July 30 – August 10, 1984. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4613-8655-1. ISBN 0-387-96311-1. MR 0861969. → Contains an English translation of Faltings (1983)
• Faltings, Gerd (1983). “Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern” [Finiteness theorems for abelian varieties over number fields]. Inventiones Mathematicae (bằng tiếng Đức). 73 (3): 349–366. Bibcode:1983InMat..73..349F. doi:10.1007/BF01388432. MR 0718935.
• Faltings, Gerd (1984). “Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern”. Inventiones Mathematicae (bằng tiếng Đức). 75 (2): 381. doi:10.1007/BF01388572. MR 0732554.
• Faltings, Gerd (1991). “Diophantine approximation on abelian varieties”. Ann. of Math. 133 (3): 549–576. doi:10.2307/2944319. JSTOR 2944319. MR 1109353.
• Faltings, Gerd (1994). “The general case of S. Lang's conjecture”. Trong Cristante, Valentino; Messing, William (biên tập). Barsotti Symposium in Algebraic Geometry. Papers from the symposium held in Abano Terme, June 24–27, 1991. Perspectives in Mathematics. San Diego, CA: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-197270-4. MR 1307396.
• Grauert, Hans (1965). “Mordells Vermutung über rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkörper”. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 25 (25): 131–149. doi:10.1007/BF02684399. ISSN 1618-1913. MR 0222087.
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine geometry. Graduate Texts in Mathematics. 201. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-1210-2. ISBN 0-387-98981-1. MR 1745599. → Gives Vojta's proof of Faltings's Theorem.
• Lang, Serge (1997). Survey of Diophantine geometry. Springer-Verlag. tr. 101–122. ISBN 3-540-61223-8.
• Lawrence, Brian; Venkatesh, Akshay (2020). “Diophantine problems and p-adic period mappings”. Invent. Math. 221 (3): 893–999. arXiv:1807.02721. doi:10.1007/s00222-020-00966-7.
• Manin, Ju. I. (1963). “Rational points on algebraic curves over function fields”. Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya (bằng tiếng Nga). 27: 1395–1440. ISSN 0373-2436. MR 0157971. (Translation: Manin, Yu. (1966). “Rational points on algebraic curves over function fields”. American Mathematical Society Translations. Series 2. 59: 189–234. doi:10.1090/trans2/050/11. ISBN 9780821817506. ISSN 0065-9290. )
• McQuillan, Michael (1995). “Division points on semi-abelian varieties”. Invent. Math. 120 (1): 143–159. doi:10.1007/BF01241125.
• Mordell, Louis J. (1922). “On the rational solutions of the indeterminate equation of the third and fourth degrees”. Proc. Cambridge Philos. Soc. 21: 179–192.
• Paršin, A. N. (1970). “Quelques conjectures de finitude en géométrie diophantienne” (PDF). Actes du Congrès International des Mathématiciens. Tome 1. Nice: Gauthier-Villars (xuất bản 1971). tr. 467–471. MR 0427323. Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 24 tháng 9 năm 2016. Truy cập ngày 11 tháng 6 năm 2016.
• Bản mẫu:Eom
• Parshin, A. N. (1968). “Algebraic curves over function fields I”. Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Math. 32 (5): 1191–1219. Bibcode:1968IzMat...2.1145P. doi:10.1070/IM1968v002n05ABEH000723.
• Shafarevich, I. R. (1963). “Algebraic number fields”. Proceedings of the International Congress of Mathematicians: 163–176.
• Vojta, Paul (1991). “Siegel's theorem in the compact case”. Ann. of Math. 133 (3): 509–548. doi:10.2307/2944318. JSTOR 2944318. MR 1109352.