Định lý Green

Trong toán học, định lý Green' đưa ra mối liên hệ giữa tích phân đường quanh một đường cong khép kín Ctích phân mặt trên một miền D bao quanh bởi C. Đây là trường hợp đặc biệt trong không gian 2 chiều của định lý Stokes, và được đặt tên theo nhà toán học người Anh tên George Green.

Định lýSửa đổi

C là một đường đơn đóngđịnh hướng dương trong mặt phẳng  2, và D là miền được bao quanh bởi C. Nếu LM là các hàm số với biến (x, y) được định nghĩa trên miền mở chứa D và có các đạo hàm riêng phần liên tục trên đó, thì[1][2]

 

Mối liên hệ với định lý StokesSửa đổi

Định lý Green là một trường hợp đặc biệt của định lý Stokes, khi áp dụng trên mặt phẳng-xy:

Chúng ta có thể mở rộng trường 2 chiều thành một trường trong không gian 3 chiều với thành phần z luôn bằng 0. Gọi F là hàm số vector định nghĩa bởi  . Bắt đầu với vế trái của định lý Green:

 

Theo định lý Stokes thì:

 

Mặt   chỉ là một miền   trong mặt phẳng, với vector định chuẩn   hướng lên (theo hướng z) để trùng với "định hướng dương" trong cả hai định lý.

Biểu thức bên trong tích phân trở thành

 

Do đó mà ta sẽ được vế phải của định lý Green

 

Mối liên quan với định lý GaussSửa đổi

Nếu chỉ xét các trường vectơ trong không gian 2 chiều, định lý Green là tương đương với phiên bản 2 chiều sau đây của định lý Gauss:

 

với   là véc tơ định chuẩn hướng ra ngoài trên biên.

Để thấy điều này, xét vec tơ định chuẩn   ở tay phải của phương trình. Bởi vì trong định lý Green   là một vecto đi theo hướng tiếp tuyến với đường cong, và đường cong C được định hướng dương (ngược chiều kim đồng hồ) dọc theo biên, vectơ định chuẩn hướng ra ngoài sẽ chỉ vuông góc 90° về phía phải, và sẽ là  . Chiều dài của vec tơ này là  . Do vậy  

Bây giờ hãy để  . Khi đó vế phải sẽ trở thành

 

mà do định lý Green sẽ trở thành

 

Điều ngược lại cũng có thể được chứng minh một cách dễ dàng.

Tính toán diện tíchSửa đổi

Định lý Green có thể được sử dụng để tính diện tích sử dụng tích phân đường.[3] Diện tích của miền D được cho bởi:

 

Miễn là chúng ta chọn được L và M sao cho:

 

Diện tích sẽ được cho bởi công thức sau:

 

Các công thức cho diện tích của D bao gồm:[3]

 

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
  2. ^ Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
  3. ^ a b Stewart, James. Calculus (ấn bản 6). Thomson, Brooks/Cole.

Đọc thêmSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi