Trong topo học của không gian metric, định lý Heine-Borel, được đặt theo tên của Eduard HeineÉmile Borel, phát biểu rằng:

Đối với một tập con A trong không gian Euclide , thì 2 mệnh đề sau đây là tương đương nhau:

Trong thực tế, định lý Heine-Borel được phát biểu cho bất kỳ một không gian metric nào, như sau:

Một tập con của không gian metriccompact khi và chỉ khiđóngbị chặn hoàn toàn.

Chứng minhSửa đổi

Giả sử   compact. Vì   là không gian Hausdorff nên   đóng. Lấy một họ

 

các phủ mở của  . Vì   compact nên có phủ con hữu hạn. Do đó có   sao cho  . Nên, với hai điểm bất kỳ    của  , ta có  . Vậy   bị chặn.

Ngược lại, nếu   đóng và bị chặn, giả sử   với mọi  . Cố định một điểm   của  , đặt  . Khi đó, với mọi   thì

 .

Đặt  , thì   là tập con của  , là tập compact. Vì   đóng nên   cũng compact.

Tham khảoSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi