Định lý Routh

Trong hình học phẳng, Định lý Routh nói về tỉ lệ diện tích tam giác tạo bởi ba đường thẳng cevian và tam giác ban đầu. Định lý này phát biểu rẳng nếu tam giác $ABC$ các điểm $D$, $E$, và $F$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC$, $CA$, và $AB$, đặt ${\tfrac {CD}{BD}}$$=x$, ${\tfrac {AE}{CE}}$$=y$, và ${\tfrac {BF}{AF}}$$=z$, khi đó tỉ số diện tích của tam giác tạo bởi ba đường thẳng cevian $AD$, $BE$, và $CF$ bằng diện tích của tam giác $ABC$ nhân với hệ số:

Định lý Routh

${\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}}.$

Định lý được đưa ra bởi Edward John Routh tại trang 82 trong tài liệu Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples năm 1896. Khi $x=y=z=2$ trở thành trường hợp đặc biệt Khu vực một phần bảy diện tích tam giác. Trường hợp $x.y.z=1$ định lý này suy biến thành định lý Ceva.

Chứng minh

Chứng minh định lý Routh

Giả sử diện tích tam giác $ABC$ là 1. Cho tam giác $ABD$ và đường thẳng $FRC$ sử dụng định lý Menelaus, chúng ta có:

${\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1$

Do đó ${\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}\times {\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}$ Như vậy diện tích của tam giác $ARC$ là:

$S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}\times {\frac {DC}{BC}}S_{ABC}={\frac {x}{zx+x+1}}$

Tương tự như vậy chúng ta có diện tích tam giác: $S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}$ và $S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}$ Do đó diện tích tam giác $PQR$ là:

$\displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}$

$=1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}$

$={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.$

Xem thêm

• Định lý Ceva

Tham khảo

• Murray S. Klamkin and A. Liu (1981) "Three more proofs of Routh's theorem", Crux Mathematicorum 7:199–203.
• H. S. M. Coxeter (1969) Introduction to Geometry, statement p. 211, proof pp. 219–20, 2nd edition, Wiley, New York.
• J. S. Kline and D. Velleman (1995) "Yet another proof of Routh's theorem" (1995) Crux Mathematicorum 21:37–40
• Routh's Theorem, Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
• Weisstein, Eric W., "Routh's Theorem" từ MathWorld.
• Routh's Theorem by Cross Products at MathPages
• Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "Routh's theorem revisited", Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.