Định lý cơ bản của số học

Định lý cơ bản của số học nói về sự phân tích duy nhất một số tự nhiên thành tích các thừa số nguyên tố.

Phát biểu của định lý - Dạng phân tích tiêu chuẩn của số tự nhiên

Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 có thể viết một cách duy nhất (không kể sự sai khác về thứ tự các thừa số) thành tích các thừa số nguyên tố. Mọi số tự nhiên n lớn hơn 1, có thể viết duy nhất dưới dạng:

$n={p_{1}}^{\alpha _{1}}{p_{2}}^{\alpha _{2}}{\dots }{p_{k}}^{\alpha _{k}}$

trong đó ${p_{1}},{p_{2}},,{\dots },{p_{k}}$ là các số nguyên tố và $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{k}$ là các số tự nhiên dương. Tuy nhiên do tính giao hoán của phép nhân các số tự nhiên, tính duy nhất bỏ qua các sai khác về thứ tự các thừa số. Vế phải của đẳng thức này được gọi là dạng phân tích tiêu chuẩn của n.

Chẳng hạn

$6936=2^{3}\times 3\times 17^{2},\,\!$

$1200=2^{4}\times 3\times 5^{2}.\,\!$

Lịch sử

Người ta cho rằng định lý được Euclid chứng minh, tuy nhiên nó được trình bày đầy đủ lần đầu tiên trong Disquisitiones Arithmeticae bởi Carl Friedrich Gauss.

Chứng minh của Euclid

Chứng minh gồm hai phần. Phần một chứng minh mọi số có thể viết dưới dạng tích của một hoặc nhiều số nguyên tố. Phần thứ hai chứng tỏ rằng biểu diễn đó là duy nhất.

Phân tích các số

Trước hết, mỗi số nguyên tố là tích của một thừa số là chính nó. Giả sử rằng có các số nguyên dương lớn hơn 1 không biểu diễn được thành tích các số nguyên tố. Khi đó gọi n là số nhỏ nhất trong các số đó. Số n này khác 1 và là hợp số. Do đó

n = ab

trong đó cả a và b là các số nguyên dương nhỏ hơn n. Vì n là số nhỏ nhất không thể phân tích thành tích các số nguyên tố nên cả a và b phân tích được thành tích các số nguyên tố. Nhưng khi đó

n = ab

lại phân tích được. Điều này mâu thuẫn với giả thiết.

Chứng minh cách biểu diễn là duy nhất

Ta giả sử rằng tồn tại số nguyên lớn hơn 1 mà có 2 cách biểu diễn dưới dạng tích các thừa số nguyên tố. Khi đó giả sử s là số nhỏ nhất trong các số như vậy, tức là $s=p_{1}p_{2}...p_{m}=q_{1}q_{2}...q_{n}$ với $p_{i},q_{j}$ là các số nguyên tố. Do $p_{1}$ chia hết $q_{1}q_{2}...q_{n}$ suy ra tồn tại $q_{j}$ mà $p_{1}$ chia hết $q_{j}$. Từ đó ta có $p_{i}=q_{j}$, bỏ 2 số nguyên tố ra khỏi đẳng thức ta được 2 vế là 2 khai triển khác nhau của số s chia cho $p_{1}$, mà theo giả thuyết s là số nhỏ nhất như vậy, mâu thuẫn này chứng tỏ giả thiết là sai. vậy mỗi số nguyên lớn hơn một chỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng tích thừa số nguyên tố (không kể đến thứ tự các thừa số).

Xem thêm

• Bảng các phân tích tiêu chuẩn của 1000 số tự nhiên đầu tiên

Sách tham khảo

The Disquisitiones Arithmeticae has been translated from Latin into English and German. The German edition includes all of his papers on number theory: all the proofs of quadratic reciprocity, the determination of the sign of the Gauss sum, the investigations into biquadratic reciprocity, and unpublished notes.

• Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English) (1986), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), New York: Springer, ISBN 978-0-387-96254-2 
• Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German) (1965), Untersuchungen über hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8 

The two monographs Gauss published on biquadratic reciprocity have consecutively numbered sections: the first contains §§ 1–23 and the second §§ 24–76. Footnotes referencing these are of the form "Gauss, BQ, § n". Footnotes referencing the Disquisitiones Arithmeticae are of the form "Gauss, DA, Art. n".

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6 
• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7 

These are in Gauss's Werke, Vol II, pp. 65–92 and 93–148; German translations are pp. 511–533 and 534–586 of the German edition of the Disquisitiones.

• Baker, Alan (1984), A Concise Introduction to the Theory of Numbers, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-28654-1 
• Euclid (1956), The thirteen books of the Elements, 2 (Books III-IX), Translated by Thomas Little Heath , New York: Dover, ISBN 978-0-486-60089-5  Bảo trì CS1: Văn bản dư (link)
• Bản mẫu:Hardy and Wright
• A. Kornilowicz; P. Rudnicki (2004), “Fundamental theorem of arithmetic”, Formalized Mathematics 12 (2): 179–185 
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (ấn bản 2), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950 .
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766 .
• Riesel, Hans (1994), Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (second edition), Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3743-5 
• Weisstein, Eric W., "Abnormal number", MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Fundamental Theorem of Arithmetic", MathWorld.