Định lý luồng cực đại lát cắt cực tiểu

Định lý luồng cực đại lát cắt cực tiểu là một phát biểu trong ngành lý thuyết tối ưu hóa về các luồng cực đại trong các mạng vận tải (flow network). Định lý phát biểu rằng:

Lượng cực đại của một luồng bằng khả năng thông qua của một lát cắt tối thiểu.

Định nghĩaSửa đổi

Giả sử   là một đồ thị có hướng hữu hạn và mỗi cung   có một khả năng thông qua   (một giá trị thực không âm). Ngoài ra, giả sử có hai đỉnh, đỉnh phát   và đỉnh thu  , đã được xác định.

Một lát cắt là một cách chia các nút mạng thành hai tập   , sao cho   thuộc tập    thuộc  . Do đó, trong một đồ thị có   lát cắt có thể.

Khả năng thông qua của một lát cắt  

 ,

Đó là tổng của các khả năng thông qua của tất cả các cung đi qua lát cắt, từ vùng   tới vùng  .

Ba điều kiện sau là tương đương:

  1.   là một luồng cực đại trong đồ thị  
  2. Mạng còn dư (residual network)   không chứa đường tăng (augmenting path).
  3.   với lát cắt   nào đó.

Phác thảo chứng minh: Nếu có một đường tăng, ta có thể gửi luồng theo đó và thu được một luồng lớn hơn, do đó nó không thể là luồng cực đại, và ngược lại. Nếu không có đường tăng nào, ta chia đồ thị thành   gồm các nút tới được từ   trong mạng còn dư, và   gồm các nút không tới được. Khi đó   phải bằng 0. Nếu không, tồn tại một cung   với  , nhưng khi đó, từ   lại đến được   nên   không thể nằm trong  .

Ví dụSửa đổi

 
Một mạng với luồng cực đại và ba lát cắt cực tiểu

Hình bên phải là một mạng với các nút  , và luồng cực đại là một luồng tổng từ nút phát   tới nút thu   có giá trị bằng 5. (Đây thực ra là luồng cực đại duy nhất ta có thể tìm thấy trong mạng này.)

Có ba lát cắt cực tiểu trong mạng. Đối với lát cắt  , khả năng thông qua lát cắt là  . Với   nó là  . Và với   .

Lưu ý rằng   không phải là một lát cắt cực tiểu, tuy trong luồng đã cho cả    đều đầy. Đó là do trong mạng còn dư   có một cung (r,q) với khả năng thông qua  .

Lịch sửSửa đổi

Định lý này được chứng minh bởi P. Elias, A. Feinstein, và C.E. Shannon năm 1956, và cũng năm đó, nó được chứng minh một cách độc lập bởi L.R. Ford, Jr.D.R. Fulkerson. Tìm các luồng cực đại là một dạng bài toán quy hoạch tuyến tính đặc biệt, và định lý luồng cực đại lát cắt cực tiểu có thể được coi là một trường hợp đặc biệt của định lý đôi (duality theorem) cho quy hoạch tuyến tính.

Xem thêmSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi

Tiếng Việt:

Tiếng Anh:

Tham khảoSửa đổi