Trong lượng giác, định lý sin (hay định luật sin, công thức sin) là một phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác bất kì với sin của các góc tương ứng. Định lý sin được biểu diễn dưới dạng

Một tam giác với các thành phần trong định lý sin
.

trong đó a, b, cchiều dài các cạnh, và A, B, C là các góc đối diện (xem hình vẽ). Phương trình cũng có thể được viết dưới dạng nghịch đảo:

Định lý sin có thể được dùng trong phép đạc tam giác để tìm hai cạnh còn lại của một tam giác khi biết một cạnh và hai góc bất kì, hoặc để tìm cạnh thứ ba khi biết hai cạnh và một góc không xen giữa hai cạnh đó. Trong một vài trường hợp, công thức cho ta hai giá trị khác nhau, dẫn đến hai khả năng khác nhau của một tam giác. Định lý sin là một trong hai phương trình lượng giác thường được dùng để tìm cạnh và góc của một tam giác, ngoài định lý cos.

Các ví dụSửa đổi

Cho: cạnh a = 20, cạnh c = 24, góc C = 40°

Theo định lý sin ta có

 
 

Một ví dụ khác:

Nếu hai cạnh của một tam giácchiều dài là R và chiều dài cạnh thứ ba, dây cung c, là 100, góc C đối diện với dây cung c thì:

 

 


 

Vấn đề tính toánSửa đổi

Giống như định lý cos, mặc dù định lý sin đúng về mặt toán học, nhưng việc áp dụng có thể dẫn đến sai số lớn khi sin của một góc rất gần với 1.

Vài ứng dụngSửa đổi

  • Định lý sin có thể được dùng để chứng minh công thức sin của một tổng khi hai góc αβ nằm giữa 0 và 90 độ.
Để chứng minh, hạ đường cao từ góc C, chia góc C thành hai góc α cùng phía với góc A và β cùng phía với góc B. Dùng định lý sin đối với cạnh ca để giải phương trình tìm sin C. Trong hai tam giác vuông mới vẽ được nhờ đường cao ta thấy sin(A) = cos(α), sin(B) = cos(β) và c = a sin(β) + b sin(α). Sau khi thế ta được sin(C) =sin(α + β) = sin(β)cos(α) + (b/a)sin(α)cos(α). Dùng định lý sin đối với cạnh ba để giải phương trình tìm b. Thế vào phương trình của sin(α + β) và ta có điều phải chứng minh.

Trường hợp đặc biệtSửa đổi

Trong một vài trường hợp, khi áp dụng định lý sin, ta được hai giá trị khác nhau, dẫn đến khả năng dựng được hai tam giác khác nhau trong cùng một bài toán giải tam giác.

 

Điều kiện để tam giác ABC rơi vào trường hợp này là:

  • Chỉ biết cạnh ‘’a’’, ‘’b’’ và góc A.
  • Góc A nhọn (A < 90°).
  • Cạnh a bé hơn cạnh b (a < b).
  • Cạnh ‘’a’’ dài hơn đường cao của tam giác vuông có góc ‘’A’’ và cạnh huyền ‘’b’’ (a > b sin A).

Trong trường hợp đó, góc ‘’B’’ có thể nhọn hoạc tù, do đó:

 

hoặc

 

Liên quan với đường tròn ngoại tiếpSửa đổi

Trong công thức

 

giá trị của mỗi phân số chính là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.[1] Người ta cũng chứng minh được rằng giá trị trên bằng

 

trong đó S là diện tích của tam giác và snửa chu vi của nó.

 

Công thức thứ hai có sử dụng đến công thức Heron.

Các dạng khácSửa đổi

Từ hình vẽ bên, ta nhận thấy:

 

Do đó

 

 

Làm tương tự, ta có:

 

Diện tích tam giác   được tính bởi công thức

 

Nhân hai vế với   ta được

 

Định lý sin trong tứ diệnSửa đổi

 
Một tứ diện với các đỉnh O, A, B, C và các góc ∠OAB, ∠OBC, ∠OCA, ∠OAC, ∠OCB, ∠OBA.

Một hệ quả của định lý sin là: trong tứ diện OABC ta có

 

Xem thêmSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

  1. ^ Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 1-3, 1967

Liên kết ngoàiSửa đổi