Đối đồng điều Čech

Trong toán học, đặc biệt là tô-pô đại số, đối đồng điều Čech là một đối đồng điều xây dựng dựa trên các tính chất giao của phủ mở trên một không gian tô-pô. Nó được đặt theo tên của nhà toán học Eduard Čech.

Một tam giác Penrose mô tả một phần tử không tầm thường trong nhóm đối đồng điều bậc 1 của một hình vành khăn với hệ số trong nhóm khoảng cách tới người quan sát [1]

Xây dựngSửa đổi

Đặt X là một không gian tô-pô  là một tiền bó các nhóm abelian trên X. Đặt   là một phủ mở của X.

Đơn hìnhSửa đổi

Một q-đơn hình σ của   là họ được sắp thứ tự q+1 tập hợp lấy từ  , sao cho giao của tất cả các tập hợp này là không rỗng. Giao này được gọi là giá của σ và được ký hiệu là [σ].

Tiếp theo xét   là một q-đơn hình. Biên thành phần thứ j của σ được định nghĩa là (q −1)-đơn hình thu được bằng cách loại bỏ tập thứ j ra khỏi σ, tức là:

 

Biên của σ được định nghĩa là tổng xen kẽ của các biên thành phần:

 

Nó là một phần tử của nhóm abelian tự do sinh bởi các đơn hình.

Đối xíchSửa đổi

Một q-đối xích của   với hệ số trong   là một ánh xạ gửi mỗi q-đơn hình σ đến một phần tử của  . Tập hợp tất cả các q-đối xích của   với hệ số trong   được ký hiệu là  .   là một nhóm abelian bằng cách cộng theo từng đơn hình.

Vi phânSửa đổi

Các nhóm đối xích tạo thành một phức hợp đối xích   bằng cách xác định toán tử đối biên   xác định bởi:

 

với  cấu xạ thu hẹp từ   vào  

Ta có  

Đối vòngSửa đổi

Một q-đối xích được gọi là q-đối vòng nếu nó nằm trong hạch của  , vì thế   là tập hợp của tất cả các q-đối vòng.

Đối biênSửa đổi

Một q-đối xích được gọi là q-đối biên nếu nó là ảnh của  .   là tập hợp tất cả các q-đối biên.

Đối đồng điềuSửa đổi

Đối đồng điều Čech của   với hệ số trong   được định nghĩa là đối đồng điều của phức hợp đối xích  . Do đó, đối đồng điều bậc q bằng

 .

Đối đồng điều Čech của X được xác định bằng cách làm mịn các phủ mở. Nếu   là mịn hơn   thì ta có một ánh xạ   Các phủ mở của X tạo thành một tập được định hướng theo quan hệ mịn. Đối đồng điều Čech của X với hệ số trong   được định nghĩa là giới hạn trực tiếp  .

Đối đồng điều Čech của X với hệ số trong một nhóm abelian A cố định, ký hiệu là  , được định nghĩa là   với   là bó hằng trên X được xác định bởi A.

Ghi chúSửa đổi

  1. ^ On the Cohomology of Impossible Figures 

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi

  • Xê-mi-na Viện Toán [1]