Đối đồng điều De Rham

Trong toán học, đối đồng điều de Rham (đặt theo tên Georges de Rham) là một công cụ trong tô-pô đại sốtô-pô vi phân, có khả năng diễn đạt thông tin tôpô cơ bản của các đa tạp trơn trong một hình thức đặc biệt thích ứng với tính toán và biểu diễn cụ thể các lớp đối đồng điều. Nó là một lý thuyết đối đồng điều dựa trên sự tồn tại của các dạng vi phân với các thuộc tính nhất định.

Một trường vectơ tương ứng với một dạng vi phân trên mặt phẳng bị thủng. Nó đóng nhưng không khớp, cho thấy đối đồng điều de Rham của không gian này là không tầm thường.

Định nghĩaSửa đổi

Phức hợp de Rhamphức hợp đối xích của các dạng vi phân trên một đa tạp trơn  :

 

Trong đó Ω0(M) là không gian của các hàm trơn trên M, Ω1(M) là không gian của dạng trơn bậc 1, v.v. Các dạng là ảnh của phép vi phân được gọi là khớp và các dạng có vi phần bằng 0 được gọi là đóng; mối quan hệ d2 = 0 nói với ta rằng các dạng khớp thì đóng.

Ngược lại, các dạng đóng không nhất thiết phải khớp. Xét đường tròn cùng với dạng bậc một . Không tồn tại hàm θ nào xác định trên toàn bộ đường tròn mà lại có vi phân là . Do đó nó không khớp. (Nó đóng vì đường tròn là đa tạp một chiều, nên mọi dạng bậc hai đều bằng  ).

Một phần tử của nhóm đối đồng điều de Rham bậc k   là một lớp tương đương các dạng bậc k đóng, modulo các dạng khớp.

Lưu ý rằng, nếu một đa tạp Mm thành phần liên thông, ta có

 

Tính toánSửa đổi

Ta tính các đối đồng điều bậc cao bằng đối đồng điều bậc   và dãy Mayer-Vietoris.

Mặt cầu n-chiều và mặt trụSửa đổi

Đặt n > 0, m ≥ 0I là một đoạn mở. Ta có

 

Hình xuyến n-chiềuSửa đổi

Đặt n > 0, ta có

 

Không gian Euclid bị thủngSửa đổi

 

Dải MobiusSửa đổi

Ký hiệu dải MobiusM. Sử dụng biến dạng co, ta có:

 

Liên hệ với đối đồng điều bóSửa đổi

Đối đồng điều de Rham đẳng cấu với đối đồng điều Čech với hệ số trong hằng.

 

Xem thêmSửa đổi

  • Lý thuyết Hodge

Tham khảoSửa đổi

Liên kết ngoàiSửa đổi