Đối tượng tự do

Trong toán học, một đối tượng tự do là một khái niệm cơ bản của đại số trừu tượng.

Định nghĩa

Đặt (C,F) là một phạm trù cụ thể (nghĩa là F: C → Set là một hàm tử chung thủy), và đặt X là một tập hợp (được gọi là cơ sở), A ∈ C một đối tượng và i: X → F(A) một đơn ánh (còn được gọi là chèn chính tắc). Chúng ta nói rằng A là một đối tượng tự do trên X (đối với i) khi và chỉ khi nó thỏa mãn tính chất phổ quát sau:

với mọi đối tượng B và bất kỳ ánh xạ nào giữa các tập hợp f: X → F(B), tồn tại một cấu xạ duy nhất g: A → B sao cho f = F(g)∘i. Đó là, giản đồ sau giao hoán:

${\begin{array}{c}X{\xrightarrow {\quad i\quad }}F(A)\\{}_{f}\searrow \quad \swarrow {}_{F(g)}\\F(B)\quad \\\end{array}}$

Theo cách này, hàm tử gán đối tượng tự do A cho tập X là một adjoint trái của hàm tử quên.

Danh sách các đối tượng tự do

• Không gian rời rạc
• Nhóm tự do

Tham khảo

• MacLane, Saunders. Duality for groups. Bull. Amer. Math. Soc. 56 (1950), no. 6, 485–516. https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183515045